2020鹤壁高级中学高一下学期第一次段考数学试题含答案

鹤壁市高中2022届高一下学期第一次段考

数学试卷

考试时间：120分钟    命题人：

一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．有下列命题：

①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；

②若，则；

③若，则四边形ABCD是平行四边形；

④若，，则；

⑤若，，则；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中，假命题的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．下列事件是随机事件的是（　　）

①当x＞10时，lgx≥1；                         ②当x∈R，x2+x＝0有解

③当a∈R关于x的方程x2+a＝0在实数集内有解；  ④当sinα＞sinβ时，α＞β

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

3．集合{x|2x＝x2，x∈R}的非空真子集的个数为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．比较sin150°，tan240°，cos（﹣120°）三个三角函数值的大小，正确的是（　　）

A．sin150°＞tan240°＞cos（﹣120°）   B．tan240°＞sin150°＞cos（﹣120°） 

C．sin150°＞cos（﹣120°）＞tan240°   D．tan240°＞cos（﹣120°）＞sin150°

5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，…，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（　　）

A．487号职工 B．307号职工 C．607号职工 D．520号职工

6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．函数落在区间（﹣1，3）的所有零点之和为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知O是△ABC的重心，且，则实数λ＝（　　）

A．3 B．2 C．1 D．

9．化简等于（　　）

A．cos3﹣sin3 B．sin3﹣cos3 C．﹣sin3﹣cos3 D．sin3+cos3

10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是511，则判断框中应填入（　　）

A．A＞8 B．A＜8 C．A＞9 D．A＜9

11．在区间内任取一点x，使得2≤4sin2x≤3的概率是（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|），两个等式：f（x）﹣f（x）＝0，f（）+f（）＝0对任意的实数均恒成立，且f（x）在（0，）上单调，则ω的最大值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到如表：

将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是　   　．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为．若将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，则点A的坐标为　   　．

15．若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝2﹣a，P（B）＝3a﹣4，则实数a的取值范围为　   　．

16．设函数f（x），存在x0使得|f（x）|≤|f（x0）|和x02+[f（x0）]2＜m2成立，则m的取值范围是　   　．

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）（1）计算：；

（2）已知tanθ＝﹣2，求2+sinθcosθ﹣cos2θ的值．

18．（本小题12分）若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象经过点（0，），且相邻的两个零点差的绝对值为6．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若将函数f（x）的图象向右平移3个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣1，5]时，求g（x）的值域．

19．（本小题12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝2，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且λ，SA∥平面BEF．

（1）求实数λ的值；

（2）求三棱锥F﹣EBC的体积．

20．（本小题12分）已知函数．

（1）若m＝1，求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若g（x）＝x2﹣2x+2，对于任意的x1∈[0，1]，x2∈[0，2]都有f（x1）+1≠g（x2），求m的取值范围．

21．（本小题12分）已知O为△ABC内一点，且满足，延长AO交BC于点D．记，．

（1）试用，表示；

（2）求．

22．（本小题12分）已知圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）设M（﹣5，2），对圆C上任意一点P，在直线MC上是否存在与点M不重合的点N，使是常数，若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．

鹤壁市高中2022届高一下学期第一次段考

数学试卷参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

二．填空题（共4小题）

13．115．                  14．（）．

15．（]．              16．m＜﹣2或m＞2．

三．解答题（共6小题）

17．【解答】解：（1）∵，

，

1﹣lg3，

，…………………………………………………………………………………5分

（2）∵tanθ＝﹣2，

∴2+sinθcosθ﹣cos2θ，

，

．………………………………………………………………………………10分

18．【解答】解：（1）∵f（x）相邻的两个零点差的绝对值为6，

记的周期为T，则，

又，∴，………………………………………………………………………2分

∴；

∵f（x）的图象经过点，∴，∴，…………4分

∴函数f（x）的解析式为．…………………………………………6分

（2）∵将函数f（x）的图象向右平移3个单位后得到函数g（x）的图象，

由（1）得，，

∴函数g（x）的解析式为；………………8分

当x∈[﹣1，5]时，，…………………………………………………10分

则．

综上，当x∈[﹣1，5]时，g（x）的值域为．………………………………………12分

19．【解答】解：（1）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，

∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，…………………………………………………………………2分

∵△GEA∽△GBC，∴，

∴，…………………………………………………………………………………4分

得SF，即；…………………………………………………………………………6分

（2）∵SA＝SD＝2，∴SE⊥AD，SE＝4．

又∵AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴BE＝2．

∴SE2+BE2＝SB2，则SE⊥BE．

∴SE⊥平面ABCD，……………………………………………………………………………9分

∴．…………………12分

20．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝2sin（），

所以2sin（）≥1，即sin（），

所以2kπ2kπ，k∈Z，……………………………………………………2分

所以4kx≤4k+1，

故原不等式的解集为[4k，4k+1]，k∈Z；……………………………………………………4分

（2）g（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，

当x∈[0，2]时，g（x）∈[1，2]．………………………………………………………………6分

当x∈[0，1]时，则∈[，]，所以sin（）∈[，1]，…………………………8分

任意的x1∈[0，1]，x2∈[0，2]都有f（x1）+1≠g（x2），

可得当m＞0时，f（x）+1∈[m+1，2m+1]，所以m+1＞2，所以m＞1；…………………10分

当m＜0时，f（x）+1∈[2m+1，m+1]，所以m+1＜1，所以m＜0；

综上，m＜0或m＞1．…………………………………………………………………………12分

21．【解答】解：（1）∵，，

∴，

∴；………………………………………………………………4分

（2）设，则，

∴，……………………………………………………6分

设，………………………………………………8分

又，则，……………………………10分

解得，即．………………………………………………………12分

22．【解答】解：（1）∵A（﹣1，3），B（3，3），∴线段AB的中点坐标为（1，3），

∴线段AB的中垂线所在的直线方程为x＝1，

∵圆心C在直线x﹣y+1＝0与直线x＝1的交点上，

联立两条直线方程可得圆心C的坐标为（1，2），

设圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2，将点A坐标代入可得，r2＝5，

∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；……………………………………4分

（2）点C（1，2），M（﹣5，2），直线MC方程为y＝2，假设存在点M（t，2）（t≠﹣5）满足条件，………………………………………………………………………………6分

设P（x，y），则有（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，……………………………………8分

|PM|2＝（x+5）2+（y﹣2）2＝（x+5）2+5﹣（x﹣1）2＝12x+29，

|PN|2＝（x﹣t）2+（y﹣2）2＝（x﹣t）2+5﹣（x﹣1）2＝（2﹣2t）x+t2+4，

当是常数时，是常数，

∴，……………………………………………………………………10分

得（6t﹣1）（t+5）＝0，

∵t≠﹣5，∴．

∴存在满足条件．…………………………………………………………12分