2020高台县一中高三上学期期中考试数学（文）试题含答案

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高台一中2019年秋学期高三年级期中考试数学（文科）试卷命题教师： 审题教师：第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合，，则 （ ） A． B． C． D．2．复数对应的点位于复平面的 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象是（ ）A． B． C． D． 5．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：支出收入1月份908070605040302010O23456789101112万元根据该折线图可知，下列说法错误的是 （ ） A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2018年1~6月份的总收益低于2018年7~12月份的总收益D．该超市2018年7~12月份的总收益比2018年1~6月份的总收益增长了90万元6. 已知，且，则 （ ） A． B． C． D．7. 已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，且到双曲线左顶点的距离是，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D．8. 在平行四边形中，，，若是的中点，则（ ）A． B． C． D．9. 甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动.甲说：“乙去我就肯定去.”；乙说：“丙去我就不去.”；丙说：“无论丁去不去，我都去.”；丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.”以下哪项推论可能是正确的 （ ） A． 乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是( )A． B． C． D．11. 已知向量，向量，则的最大值、最小值分别是 （ ） A． ， B． ， C．， D．， 12．已知函数，若函数在定义域内存在零点，则实数的取值范围为 （ ）A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若且方向相反，则 ．14. 已知函数，，则 ．15. 直线与曲线相切，则 ．16．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半径为的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥体积为，则半球的表面积为 ___________.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分） 已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.18.（本小题满分12分） 已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）设的内角的对边分别为边，若，成等差数列，且，求的值．19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面，求到平面的距离．20.（本小题满分12分） 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，且.（1）求此椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值.21.（本小题满分12分） 已知函数.（1）当时，求的极大值；（2）证明：当时，存在，使得.（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，多答按所答第一题评分。22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．高台一中2019年秋学期高三年级期中考试数学（文科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分） 已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【解析】（1）方法1：证明：由，得 ................ 3分 即 又 .... ...........5分 数列是以为首项，为公比的等比数列............6分 方法2：证明：由已知得 ........... 3分 又 ................ 5分 数列是以为首项，为公比的等比数列. ...........6分由（1）知， ...........7分 则 ...........10分 ...........12分 18.（本小题满分12分） 已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）设的内角的对边分别为边，若，成等差数列，且，求的值．【解析】（1） ...........3分 的最小正周期. ...........4分 由得 的单调递减区间为 ...........6分（2）由，得 ...........7分 ...........8分又成等差数列由正弦定理得 ..........10分由余弦定理得 解得 ...........12分（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面，求到平面的距离．平面20.（本小题满分12分） 已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，且.（1）求此椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值.【解析】21.（本小题满分12分） 已知函数.（1）当时，求的极大值；（2）证明：当时，存在，使得.222.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．【解析】（1）∵，∴，∴，即． ...............4分（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得， ...............6分则，，............7分所以，...........9分所以，即的最大值为． ...........10分23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，求实数，的值．【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，从而；当时，原不等式可化为，从而，综上，原不等式的解集为．（2）由得，又，所以，即，解得，所以的取值范围为．题号123456789101112答案DABCDACDCBDB