2020张掖高台一中高一下学期期中考试数学试题含答案

高台一中2019-2020学年下学期期中模拟试卷

高一数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若，则（　　）

A． B． 

C． D．

2．下列函数中最小正周期为π的函数是（　　）

A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝tan2x D．y＝|sinx|

2．圆x2+y2＝4被直线y＝x+2截得的劣弧所对的圆心角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．90° D．120°

3．已知α终边与单位圆的交点，且sinα•tanα＜0，则的值等于（　　）

A． B． C．3 D．﹣3

4．已知cos（﹣70°）＝k，那么tan110°＝（　　）

A． B． C． D．

5．已知，若，则λ等于（　　）

A． B． C． D．

6．已知关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，2π]恰有两个根α，β，则sin（α+β）+cos（α+β）＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2a

7．已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，λ∈（0，+∞），则△ABC一定是（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形

8．已知α+β+γ＝π，β为锐角，tanα＝3tanβ，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

9．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（　　）

A．75米 B．85米 C．米 D．米

10．已知函数f（x）＝cosx（x∈[0，π]）的图象与函数g的图象交于M，N两点，则△OMN的面积为（　　）

A． B． C． D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的最小正周期为2π                        B．f（x）的最大值为 

C．f（x）在上单调递增                        D．f（x）的图象关于直线x对称

12．已知函数为f（x）的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（　　）

A．                               B．f（x）的最小正周期为 

C．ω＝5                               D．f（x）在（0，）上单调递增

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13．化简：　   　．

14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的最小正周期为π，其图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称，则：f（x）＝　   　；当x∈[，]时，f（x）的值域为　   　．

15．若，x∈[0，2π），则x的取值范围是　   　；若，则x的取值范围是　   　．

16．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为　   　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1＝0的一个实根，且α是第三象限角．

（1）求的值；

（2）求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值．

18．（本小题满分12分）

已知平面向量，满足．

（1），求与的夹角；

（2）若对一切实数x，不等式恒成立，求与的夹角θ．

19．（本小题满分12分）

如图，已知函数y＝2sin（πx+φ）（x∈R，其中）的图象与y轴交于点（0，1）．

（1）求φ的值；

（2）求函数y＝2sin（πx+φ）的单调递增区间；

（3）求使y≥1的x的集合．

20．（本小题满分12分）

在①函数为奇函数

②当时，

③是函数f（x）的一个零点

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，　   　．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向左平移个单位长度．

（1）写出函数f（x）的解析式和其图象的对称中心坐标；

（2）已知关于x的方程f（x）＝m在[0，π]上有两个不同的解α，β，求实数m的取值范围和cos（α+β）的值．

22．（本小题满分12分）

已知向量．

（I）求函数f（x）的单调增区间．

（2）若方程上有解，求实数m的取值范围．

（3）设，已知区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求b﹣a的最小值．

高一数学·参考答案

13．Tanα                                     14．sin（2x）；[，1]

15．；，k∈Z     16．（﹣3，9）

17．【解析】（1）∵tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1＝0的一个实根，且α是第三象限角，

∴tanα＝1，或tanα（舍去），∴．

（2）3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α2．

18．【解析】（1）∵，平方可得，设与的夹角为θ，

∴，∴．

（2）不等式 两边平方可得：x2+2x•cosθ﹣1﹣2cosθ≥0，

∴△≤0，即4cos2θ+4（1+2cosθ）≤0，

故（cosθ+1）2≤0，

只能cosθ＝﹣1，而0≤θ≤π，所以θ＝π．

19．【解析】（1）因为函数图象过点（0，1），所以2sin φ＝1，即sin φ．因为0≤φ，

所以φ．

（2）∵由（1）得y＝2sin（πx），∴2kπ≤πx2kπ，（k∈Z）单调递增，即2k≤x2k，（k∈Z）单调递增，

故y＝2sin（πx）在[2k，2k]单调递增．

∵2kπ≤πx2kπ，（k∈z）单调递减，即2k≤x2k，（k∈Z）单调递减

故y＝2sin（πx）在[2k，2k]单调递减；

（3）由y≥1，可得2sin（πx）≥1，所以2kπ≤πx2kπ，（k∈Z），解得2k≤x≤2k（k∈Z）．

故当y≥1的解集为[2k，2k]（k∈Z）．

20．【解析】∵函数f（x）的图象相邻对称轴间的距离为π，

∴，

∴ω＝1，

∴f（x）＝2sin（x+φ）．

方案一：选条件①∵为奇函数，

∴，k∈Z，

（1）∵，

∴，

∴．

（2）由，k∈Z，

得，k∈Z，

∴令k＝0，得，

令k＝1，得，

∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，，

方案二：选条件②，

∴，

∴φ＝2kπ，k∈Z，或，k∈Z，

（1）∵，

∴，

∴，

（2）由，k∈Z，

得，k∈Z，

∴令k＝0，得，

令k＝1，得，

∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，，

方案三：选条件③∵是函数f（x）的一个零点，

∴，

∴，k∈Z，

（1）∵，

∴，

∴，

（2）由，k∈Z，

得，k∈Z，

∴令k＝0，得，

令k＝1，得．

∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，．

故答案为：．

21．【解析】（1）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），

可得y＝cos（2x）的图象；

再将所得到的图象向左平移个单位长度，得到f（x）＝cos（2x）的图象．

令2xkπ，求得x，k∈Z，可得函数f（x）的图象的对称中心为 （ ，0），k∈Z．

（2）在[0，π]上，2x∈[，]，cos（2x）∈[﹣1，]，

关于x的方程f（x）＝m在[0，π]上有两个不同的解α，β，

∴﹣1＜m，且2α（2β）＝2×π，∴α+β，

故 cos（α+β）＝coscos．

22．【解析】（1）向量．

即有f（x）2•1+cos2xsinxcosx﹣1sin2xcos2x＝sin（2x），

由2kπ2x2kπ，解得kπx≤kπ，

则f（x）的增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；

（2）令t＝f（x），由x∈（0，），可得2x∈（，），t∈（，1]，

方程上有解，

即为3t2﹣t+m＝0在t∈（，1]有解，

即为﹣m＝3t2﹣t，由h（t）＝3t2﹣t＝3（t）2，可得h（t）∈[，2]，

可得m的范围是[﹣2，]；

（3）g（x）＝sin（2x），

由g（x）＝0，可得2x2kπ或2kπ，k∈Z，

即为x＝kπ或x＝kπ，k∈Z，

即g（x）的零点相离间隔依次为和，

y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，

若b﹣a最小，则a和b都是零点，

此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，nπ+a]（n∈N*）

分别恰有3，5，…，2n+1个零点，

所以在区间[a，49π+a]是恰有99个零点，从而在区间（49π+a，b]至少有一个零点，

∴b﹣a﹣49π，即b﹣a，

则b﹣a的最小值为．