2020高台县一中高三上学期期中考试数学（理）试题含解析

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高台县第一中学2019年秋学期高三年级期中考试数学（理科）试卷试卷命制： 审题教师：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）请将答案写在答题卡上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2．若复数满足，则（ ）A．5 B． C．25 D．3.正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）A． B． C． D．4．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）A． B． C． D．5.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则||=（　　）A．6 B．7 C．8 D．96.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于15°的概率为(　　)A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝1，AA1＝，点O为长方形ABCD对角线的交点，E为棱CC1的中点，则异面直线AD1与OE所成的角为（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°8.在中，内角，，的对边分别是，，，外接圆半径为，若，且的面积为，则（ ）A. B. C. D.9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位10.在三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C均在球O的球面上，且AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，若此三棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为A． B． C． D．已知数列{}是递增的等差数列，且，是函数的两个零点．设数列{}的前项和为，若不等式＞对任意正整数恒成立，则实数a的取值范围为 A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，1）12.已知函数在上至少存在两个不同的满足，且函数在上具有单调性，和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A．函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为B．函数图象关于直线对称C．函数图象关于点对称D．函数在上是单调递减函数填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．展开式中的常数项为 ．14．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于　 　．15．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有____________种. 16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则_____________.三、解答题（6个小题，共70分)17.（12分）已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表：将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，①求这10人中，男生、女生各有多少人？②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2，其中n=a+b+c+d．临界值表19.三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且BC＝BD＝4，AC＝4eq \r(2)，CD＝4eq \r(3)，∠ACB＝45°，E，F分别为AC，DC的中点．(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．20.(12分)已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令函数，当时，恒有，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．高台县第一中学2019年秋学期高三年级期中考试数学（理科）试卷试卷命制： 审题教师：选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）请将答案写在答题卡上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由集合，则或，又，所以.2．若复数满足，则（ ）A．5 B． C．25 D．【答案】A【解析】由，得，所以，所以．3.正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）A． B． C． D．【答案C4．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B5.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则||=（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C6.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于15°的概率为(　　)A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)解析：在eq \x\to(AB)上取C1，C2两点使∠AOC1＝15°，∠BOC2＝15°，则满足条件的射线OC落在∠C1OC2内部，∠C1OC2＝60°，则所求概率为eq \f(60,90)＝eq \f(2,3).故选D.答案：D7.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝1，AA1＝，点O为长方形ABCD对角线的交点，E为棱CC1的中点，则异面直线AD1与OE所成的角为（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°8.在中，内角，，的对边分别是，，，外接圆半径为，若，且的面积为，则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴由正弦定理得，①，∵的面积为，∴，则，代入①得，，由余弦定理得，.9.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位【答案】D【详解】由题将函数可化为，将的图象转换为，该图象向右平移个单位，即可得到的图象．10.在三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C均在球O的球面上，且AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，若此三棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为A． B． C． D．已知数列{}是递增的等差数列，且，是函数的两个零点．设数列{}的前项和为，若不等式＞对任意正整数恒成立，则实数a的取值范围为（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，1）12.已知函数在上至少存在两个不同的满足，且函数在上具有单调性，和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A．函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为B．函数图象关于直线对称C．函数图象关于点对称D．函数在上是单调递减函数填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．展开式中的常数项为 240 ．14．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】 ∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－eq \f(5,4)，∴所求面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×10＝eq \f(25,4).将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有____________种. 【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙等5位同学分成3组：若分成1﹣2﹣2的三组，有=15种分组方法，若分成1﹣1﹣3的三组，有=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学，有A33=6种情况，则每所大学至少保送一人的不同保送方法25×6=150种；16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则_____________.三、解答题（6个小题，共70分)17.（12分）已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为（），由条件得，∴，∴.（2），∴.由，得.∴满足的最小的的值为.18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表：将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，①求这10人中，男生、女生各有多少人？②从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2，其中n=a+b+c+d．临界值表19.如图，三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且BC＝BD＝4，AC＝4eq \r(2)，CD＝4eq \r(3)，∠ACB＝45°，E，F分别为AC，DC的中点．(导学号 55460186)(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．20.(12分)已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由题意可知：，，，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则.∴椭圆的标准方程：.（2）设直线的方程为.，消去整理得：.设，，则，，，将，，代入上式得，即.21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令函数，当时，恒有，求实数的取值范围．【解析】（1）．①当时，在上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增；②当时，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减．综上，当时，递减区间为，递增区间为；当时，递增区间为，递减区间为．（2），∵，∴，当时，由于，所以，即，当时，由于，所以，即，当时，，综上，当时，函数单调递增，所以由可得，即，等价于，即，令，，则，由，且，得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以，所以，即的取值范围为．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）∵，∴，∴，即．（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得，则，，所以，所以，即的最大值为．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，从而；当时，原不等式可化为，从而，综上，原不等式的解集为．（2）由得，又，所以，即，解得，所以的取值范围为．平均每天锻炼的时间/分钟[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数203644504010锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635平均每天锻炼的时间/分钟[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数203644504010锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635练方法　　练规范　　练满分　　练能力(1)证明：由BC＝4，AC＝4eq \r(2)，∠ACB＝45°，则AB＝eq \r(42＋（4\r(2)）2－2·4·4\r(2)cos 45°)＝4，∴AC2＝BC2＋AB2，则∠ABC＝90°，AB⊥BC.(2分)又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面BCD.又AB⊂平面ABD，故平面ABD⊥平面BCD.(4分)(2)解：由BC＝BD，点F为DC的中点，知BF⊥DC.∵CD＝4eq \r(3)知CF＝2eq \r(3)，则sin∠FBC＝eq \f(2\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠FBC＝60°，则∠DBC＝120°，(6分)如图所示，以点B为坐标原点，以平面DBC内与BC垂直的直线为x轴，以BC为y轴，以BA为z轴建立空间直角坐标系．则B(0，0，0)，A(0，0，4)，C(0，4，0)，E(0，2，2)，D(2eq \r(3)，－2，0)，F(eq \r(3)，1，0)，(8分)∴eq \o(BE,\s\up12(→))＝(0，2，2)，eq \o(BF,\s\up12(→))＝(eq \r(3)，1，0)，显然平面CBF的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面BEF的法向量为n2＝(x，y，z)，取x＝1，得一个法向量n2＝(1，－eq \r(3)，eq \r(3))．(10分)设二面角E-BF-C的大小为θ，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(\r(3),\r(7))＝eq \f(\r(21),7).因此sinθ＝eq \f(2\r(7),7)，则二面角E-BF-C的正弦值为eq \f(2\r(7),7).(12分)