(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习5.6《正弦定理和余弦定理》(含详解)

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 [基础题组练]1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，则b＝(　　)A．3　　　　　　　　　　 B．2C．2   D．解析：选C．由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b<c＝2，所以b＝2.选C．2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)A．3　　　　　　　　　　 B．C．9   D．解析：选B．因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B．3．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)A．2   B．C．2  D．2解析：选D．由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.4．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　)A．－   B．C．   D．解析：选C．由sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝＝，故选C．5．(多选)(2021·预测)下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形解析：选ABD．对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________．解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos A·sin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.答案：27．(2020·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－sin BsinC．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以cos A＝，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝.答案：　8．(2020·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．解：(1)因为asin B＋bcos A＝0，所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0，即sin B(sin A＋cos A)＝0，由于B为三角形的内角，所以sin A＋cos A＝0，所以sin＝0，而A为三角形的内角，所以A＝.(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.9．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sin B＝2sin Bcos A．又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，又A为三角形的内角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.[综合题组练]1．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于(　　)A．60°  B．120°C．45°  D．135°解析：选A．法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos Asin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°，故选A．法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°，故选A．2．(2020·福建漳州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为(　　)A．1   B．C．2  D．3解析：选B．在△ABC中，因为3acos A＝bcos C＋ccos B，所以3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝.因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为.故选B．3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.答案：4＋44．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为________．解析：由＝a，得＝sinC．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.答案：35．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝bcos A．(1)求cos B的值；(2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圆的半径R.解：(1)因为cos B＝bcos A，所以结合正弦定理，得cos B＝sin Bcos A，所以sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sinC．又因为sin C≠0，所以cos B＝.(2)由(1)知，sin B＝＝.因为cos C＝－，所以sin C＝＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，所以R＝·＝×＝.6．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C．(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，所以tan B＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2.所以cos A＝＝＝－.因为D是AC的中点，所以AD＝.所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.所以BD＝.