(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习9.7《抛物线》(含详解)

[基础题组练]

1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)

A．(－1，0)  B．(1，0) 

C．(0，－1)  D．(0，1)

解析：选B．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．

2．(2020·湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　)

A．x2＝8y  B．x2＝4y 

C．x2＝－4y  D．x2＝－8y

解析：选C．依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C．

3．(2020·甘肃张掖第一次联考)已知抛物线C1：x2＝2py(y＞0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为(　　)

A．－  B．－

C．－  D．－

解析：选B．因为|PF1|＝，

所以＋＝，解得p＝.

所以C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1，0)，

所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B．

4. (应用型)(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A． m  B． m

C． m  D． m

解析：选D．建立如图所示的平面直角坐标系．

设抛物线的解析式为x2＝－2py，p＞0，

因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p，可得p＝，

所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m．故选D．

5．(2020·河北衡水三模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．5

C．4  D．3

解析：选A．根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A，B，C到准线x＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选A．

6．在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．

解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦点坐标代入可求得p＝，所以准线方程为y＝－.

答案：y＝－

7．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________．

解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，

得＋8＝＋5，得p＝4.

答案：4

8．(2020·湖南师大附中月考改编)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．

解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可得－＝1，解得x＝±，因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.则抛物线的焦点坐标为(0，3)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为＝.

答案：6　

9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．

解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，

得4x2－(a＋16)x＋16＝0，

由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.

又x1＋x2＝，x1x2＝4，

所以|AB|＝＝ ＝3，

所以5＝45，

所以a＝4或a＝－36.

故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.

10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，

于是4＋＝5，所以p＝2.

所以抛物线方程为y2＝4x.

(2)因为点A的坐标是(4，4)，

由题意得B(0，4)，M(0，2)．

又因为F(1，0)，所以kFA＝，

因为MN⊥FA，所以kMN＝－.

又FA的方程为y＝(x－1)，①

MN的方程为y－2＝－x，②

联立①②，解得x＝，y＝，

所以点N的坐标为.

[综合题组练]

1．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则(　　)

A．∠FQP＝60°　　　　　　　 B．|QM|＝1

C．|FP|＝4  D．|FR|＝2

解析：选ACD．如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°，由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选ACD．

2．(多选)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．－  D．－

解析：选BD．如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线的定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，所以|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为－.

3．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．

解析：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，

所以x1＝2，y1＝2.

设AB的方程为x－1＝ty，

由

消去x得y2－4ty－4＝0.

所以y1y2＝－4，所以y2＝－，x2＝，

所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.

答案：

4．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．

解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.

因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.

又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，斜率是.

答案：

5．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，

故直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由y＝，得y′＝x.

设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.

设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝.

将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.

由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1，2＝1±.

从而|AB|＝|x1－x2|＝2.

由题设知|AB|＝2|MN|，

即＝，

解得m＝或m＝－(舍)．

所以直线AB的方程为y＝x＋.

6．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，

则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①

(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，

因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，

所以－＝－1，所以p＝2.

(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，

联立，得

结合①式，解得即N(pk，－1)．

|AB|＝|x2－x1|＝·＝，

点N到直线AB的距离d＝＝，

则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，

因为△ABN的面积的最小值为4，

所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.