2023年中考数学压轴题培优专题11 四点共圆模型（含答案解析）

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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题11四点共圆模型
解题策略


模型1：定点定长共圆模型
若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆．如图,若OA＝OB＝OC＝OD,则A,B,C,D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．

模型2：对角互补共圆模型
2．若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形的四个顶点共圆．
如图,在四边形ABCD中, 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A,B,C,D四点在同一个圆上．

拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆．
如图,在四边形ABCD中,∠CDE为外角,若∠B＝∠CDE,则A,B,C,D四点在同一个圆上．
模型3：定弦定角共圆模型
若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆
如图,点A,D在线段BC的同侧,若∠A＝∠D,则A,B,C,D四点在同一个圆上．

经典例题



【例1】．（2021·全国·九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中,点E从点D出发,沿边DC以1cm/s的速度向点C运动,同时,点F从点C出发,沿边CB以1cm/s的速度向点B运动,当点E达到点C时,两点同时停止运动,连接AE、DF交于点P,设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1,当t为多少时,EF的长等于45cm?
(2)如图2,在点E、F运动过程中,
①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值,使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在,求出t值；若不存在,请说明理由；
③请直接写出问题①中,圆心O的运动的路径长为_________．

【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①,△OAB、△OCD的顶点O重合,且∠A+∠B+∠C+∠D=180°,则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）
（2）连接AD、BC,若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图②,如果∠AOB=110°,那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）
②如图③,若∠AOD=∠BOC,AB与CD平行吗？为什么？

【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC的中点,∠BAD=12∠BAC=60°,于是BCAB=2BDAB=3；
迁移应用：如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD．

①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5,CE=2,求BF的长．
【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形,其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．

（1）求美角∠A的度数；
（2）如图1,若⊙O的半径为5,求BD的长；
（3）如图2,若CA平分∠BCD,求证：BC+CD=AC．

培优训练


一、解答题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E,∠AED＝60°,点F在直线CD上运动,连接AF,线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG,连接FG,EG,过点G作GH⊥AB于点H．


(1)如图1,点F和点G都在射线AB的同侧时,EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2,点F和点G在射线AB的两侧时,线段EF,AE,GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧,AE=1,EF=2,请直接写出HG的长．
2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图,已知正方形ABCD,将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0