2023年中考数学压轴题培优专题08 将军饮马模型（含答案解析）

这是一份2023年中考数学压轴题培优专题08 将军饮马模型（含答案解析），共84页。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题8将军饮马模型
解题策略


模型1：当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P,点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.
模型2：当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PA＋PB最小．


作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
模型3：当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最大．

连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点,的最大值为AB
模型4：当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使得最大．

作点B关于直线I的对称点B',连接AB'并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点．的最大值为AB'
模型8：当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最小．

连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求作的点．的最小值为0
模型6：点P在∠AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″,连接P′P″,交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″
模型7：点P在∠AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得PD＋CD最小．


作点P关于OB的对称点P′,过P′作P′C⊥OA交OB,PD＋CD的最小值为P′C
经典例题



【例1】．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD．


(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当AQ+5−14CQ取最小值时,求∠QAC的正弦值．
【例2】．（2021·四川南充·一模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4,0）、B（0,4）、C．其对称轴l交x轴于点D,交直线AB于点F,交抛物线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点,求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合）,在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由．
【例3】（2022·浙江衢州·模拟预测）如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,弦AD平分∠BAC,过点D作射线AC的垂线,垂足为M,点E为线段AB上的动点．

(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°,AB＝8,在点E运动过程中,EC+EM是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上,连接CE并延长,交⊙O于点F,交AD于点P,连接AF,CP＝3,EF＝4,求AF的长．
【例4】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）在Rt△ABC中,AB＝BC,在Rt△CEH中,∠CEH＝45°,∠ECH＝90°,连接AE．

(1)如图1,若点E在CB延长线上,连接AH,且AH＝6,求AE的长；
(2)如图2,若点E在AC上,F为AE的中点,连接BF、BH,当BH＝2BF,∠EHB+12∠HBF＝45°时,求证：AE＝CE；
(3)如图3,若点E在线段AC上运动,取AE的中点F,作FH'∥BC交AB于H,连接BE并延长到D,使得BE＝DE,连接AD、CD；在线段BC上取一点G,使得CG＝AF,并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中,当ACD的周长取得最小值时,△AED的面积为25,请直接写出GE+BH′的值．
【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8,BC＝20,AD＝18,点Q为BC中点,动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动,设动点P的运动时间为t秒．

(1)当t为何值时,四边形PBQD是平行四边形,请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R,使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出t的值：若不存在,请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M,且PM＝10,当点P从点A向右运动_________秒时,四边形BCMP的周长最小,其最小值为_________．
培优训练


一、解答题
1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC底边BC上的中线,点P为线段AB上一点．
（1）在AD上找一点E,使得PE+EB的值最小；
（2）若点P为AB的中点,当∠BPE满足什么条件时,△ABC是等边三角形,并说明理由．

2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示,在平面直角坐标系中,已知一次函数y=12x+1的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；
（2）求点C,D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M,使△MDB的周长最小？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠,且BC＝9,∠B＝30°．
（1）如图1、2,若点D是CB上一点,且CD＝3,点E是AB上的动点,将△DBE沿DE对折,点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧）,DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时,求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时,求∠DEB的度数．
（2）如图2,若点D是CB上一点,且CD＝3,M是线段AC上的动点,以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D,M,N三点顺时针方向排列）,在点M的运动过程中,直接写出CN+NB的最小值．

4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,AC＝2,以BC为边向左作等边△BCE,点D为AB中点,连接CD,点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．

5．（2022·江苏·八年级专题练习）如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE．

（1）若∠ABC=68°,求∠AED的度数；
（2）若点P为直线DE上一点,AB=8,BC=6,求△PBC周长的最小值．
6．（2021·江苏·星海实验中学八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,直线l平行于x轴,l上有两点A、B,且点A坐标为（－14,8）,点B位于A点右侧,两点相距8个单位,动点P、Q分别从A、B出发,沿直线l向右运动,点P速度为2个单位/秒,点Q速度为6个单位/秒,设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ）,Q（ _________ ）；
（2）在P、Q运动过程中,取线段PQ的中点D,当△OBD为直角三角形时,求出t的值及相应的点D的坐标；
（3）取满足（2）中条件最右侧的D点,若坐标系中存在另一点E（−133,－4）,请问x轴上是否存在一点F,使FD－FE的值最大,若存在,求出最大值；若不存在,说明理由．

7．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝33x2﹣233x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E（4,n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE．当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM＋MN＋NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点,将抛物线y＝33x2﹣233x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．
8．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC,其中∠A＝∠D＝90°,AB＝AC,AC、BD交于点P．
（1）如图1,BP平分∠ABC,求证：BC＝AB+AP；
（2）如图2,过点A作AE⊥BP,分别交BP、BC于点E、点F,连接AD,过A作AG⊥AD,交BD于点G,连接CG,交AF于点H,
①求证：△ABG≌△ADC；
②求证：GH＝CH；
（3）如图3,点M为边AB的中点,点Q是边BC上一动点,连接MQ,将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK,连接PK、CK,当∠DBC＝15°,AP＝2时,请直接写出PK+CK的最小值．

9．（2021·广东·岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣12x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点,点B（1,0）在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点C关于原点的对称点为C′,问在AB的垂直平分线上是否存在一点G,使得△GBC′的周长最小？若存在,求出点G的坐标和最小周长；若不存在,请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点,过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q,过点Q作QM⊥x轴于点M,再过点P作PN⊥x轴于点N,得到矩形PQMN,在点P的运动过程中,当矩形PQMN为正方形时,求该正方形的边长．

10．（2021·陕西宝鸡·九年级期中）问题提出
（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B'
问题探究
（2）如图2,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,D为AC的中点,P为线段BC上一点,求AP+DP的最小值.
问题解决
（3）如图3,四边形ABCD为小区绿化区,DA=DC,∠ADC=90°,AB=6+63,BC=12,∠B=30°,AC是以D为圆心,DA为半径的圆弧.现在规划在AC,边BC和边AC上分别取一点P,E,F,使得DP+PE+EF+PF为这一区域小路,求小路长度的最小值.

11．（2021·全国·九年级专题练习）已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠ABO=30°,OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△ODC,点D在BO上,连接BC．
                  
（1）如图①,求线段BC的长；
（2）如图②,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度；
（3）如图③,点M是线段OC的中点,点N是线段OB上的动点（不与点O重合）,求△CMN周长的最小值．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,A0,2、B−2,0、C2,2,点E、F分别是直线AB和x轴上的动点,求△CEF周长的最小值．

13．（2021·全国·九年级专题练习）如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B两点,与y轴交于点C0,−3．
          
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①,连接BC,点P是抛物线在第四象限上一点,连接PB,PC,求△BCP面积的最大值；
（3）如图②,点D为抛物线的顶点,点C关于抛物线对称轴的对称点为点E,连接DE．将抛物线沿x轴向右平移t个单位,点A,B的对应点分别为A'、B',连接A'D、B'E,当四边形A'DEB'的周长取最小值时,求t的值．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,CD上的点,连接AE,AF,EF．
（1）如图①,AB=AD,∠BAD=120°,∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；
              
（2）如图②,∠BAD=120°,当△AEF周长最小时,求∠AEF+∠AFE的度数；
（3）如图③,若四边形ABCD为正方形,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BE=3,DF=2,请求出线段EF的长度．
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图,等边△ABC的边长为6,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接BE．
（1）如图①,求点D到线段BE的最短距离；
                
（2）点P,N分别是BE,BC上的动点,连接PN、PD．
①如图②,当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度；
②如图③,点Q在BE上,若BQ=1,连接QN,求QN+NP+PD的最小值．
16．（2021·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中,以点P23,−3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点,与y轴相切于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为y轴上一点,连接DM,MP,是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在,求出点M的坐标及△DMP的周长最小值；若不存在,请说明理由．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,BC=4,⊙O是△ABC的外接圆,D是CB延长线上一点,且BD=2,连接DA,点P是射线DA上的动点
       
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时,∠BPC的度数最大,最大度数是多少？请说明理由；
（3）点P运动的过程中,PB+PC的值能否达到最小,若能,求出这个最小值；若不能,请说明理由．
18．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC=90°,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下,点M在AC线段上移动,请直接回答,当点M移动到什么位置时,MB+MD有最小值．
19．（2022·全国·八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内,过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2.

①如图1,若∠AOB=25∘,请直接写出∠P1OP2=______；
②如图2,连接P1P2分别交OA、OB于C、D,若∠CPD=98∘,求∠AOB的度数；
③在②的条件下,若∠CPD=α度（900,
∴AC'=25,
在Rt△BOC'中,OB=1,OC'=2,
BC'2=OB2+OC'2=1+4=5,
∵BC'>0,
∴BC'=5,
∴C△GBC'=AC'+BC'=25+5=35．
（3）①当点P在线段BC之间时,存在正方形PQMN,如下图：

设正方形的边长为t,
∵点P在直线BC上,点Q在直线AC上,
∴点P(2−t2,−t),点Q(2t−4,−t),
∴点N(2−t2,0),点M(2t−4,0),
∵MN=t,
即−2t+4+2−t2=t,
解得：t=107．
②当点P在直线BC的左下方时,存在正方形PQMN,如下图：

同理可得：N(2−t2,0),M(2t−4,0),
此时：2t−4−2−t2=t,
解得：t=103,
综上所述,正方形PQMN的边长为107或103．
【点睛】本题考查一次函数综合,一次函数解析式求法,勾股定理等,灵活应用知识点解题是关键．
10．（2021·陕西宝鸡·九年级期中）问题提出
（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B'
问题探究
（2）如图2,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,D为AC的中点,P为线段BC上一点,求AP+DP的最小值.
问题解决
（3）如图3,四边形ABCD为小区绿化区,DA=DC,∠ADC=90°,AB=6+63,BC=12,∠B=30°,AC是以D为圆心,DA为半径的圆弧.现在规划在AC,边BC和边AC上分别取一点P,E,F,使得DP+PE+EF+PF为这一区域小路,求小路长度的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）33；（3）65+23
【分析】（1）根据对称性即可作图；
（2）作点A关于BC的对称点A',连接A'D交BC于点P,此时AP+DP值最小,连接A'C,根据图形的特点及等边三角形的性质即可求解；
（3）因为DP为定值,所以即求PE+EF+FP的最小值,连接DP,BP,分别以AB,BC所在的直线为对称轴作点p的对称点P1,P2,连接P1P2,此时PE+EF+FP的值最小,即为P1P2长,根据图形的特点、等边三角形的性质与勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图1所示,点B'即为所求.

（2）如图2,作点A关于BC的对称点A',连接A'D交BC于点P,此时AP+DP值最小,连接A'C.
∵∠BAC=120°,
∴∠A'AC=60°.
∵AA'垂直平分BC,
∴△AA'C为等边三角形.
∵点D为中点,
∴A'D⊥AC,
∴AP+DP=A'D=33.

（3）要求DP+PE+EF+FP的最小值,因为DP为定值,
所以即求PE+EF+FP的最小值.
如图,连接DP,BP,分别以AB,BC所在的直线为对称轴作点p的对称点P1,P2,连接P1P2,此时PE+EF+FP的值最小,即为P1P2长.
∵∠ABC=30°,
∴∠P1BP2=60°,
∴△P1BP2为等边三角形,即P1P2=BP1.
∵BP1=BP=BP2,
∴P1P2=BP,
∴DP+PE+EF+FP的最小值为DP+BP.
当D,P,B三点共线时值最小,
由题知BC=12,AB=6+63,∠ABC=30°,
∴AD=DC=6,
∴DB=62+(6+63)2=65+23．

【点睛】此题主要考查轴对称的应用,解题的关键是熟知对称性、等边三角形的性质及勾股定理的运用．
11．（2021·全国·九年级专题练习）已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠ABO=30°,OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,得到△ODC,点D在BO上,连接BC．
                  
（1）如图①,求线段BC的长；
（2）如图②,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度；
（3）如图③,点M是线段OC的中点,点N是线段OB上的动点（不与点O重合）,求△CMN周长的最小值．
【答案】（1）BC=4；（2）OP=2217；（3）△CMN周长的最小值为27+2．
【分析】（1）根据旋转的性质以及旋转角度,可以得出△BOC是等边三角形,所以BC=OB=OC=4．
（2）由三角函数以及勾股定理,可以得出OA、AB、BC以及AC的长度,算出S△AOC的面积,根据等面积法,求出OP的长度即可．
（3）连接BM,AM,连接AC交OB于点N,证明△BAO≌△BMO,所以得到AB=BM,OA=OM,BO垂直平分AM,即点M关于直线BO的对称点为点A,所以当CN+MN取最小值时,△CMN周长最小,即当点A、N、C三点共线时,△CMN的周长取得最小值,为AC+MC的值,求出结果即可．
【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC,∠BOC=60°
∴△BOC是等边三角形
∴BC=OB=OC=4．
（2）∵OB=4,∠ABO=30°
∴OA=12OB=2,AB=3OA=23
∴S△AOC=12OA⋅AB=12×2×23=23
∵△BOC是等边三角形
∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°
∴AC=AB2+BC2=27
∵S△AOC=12AC⋅OP,∴OP=2S△AOCAC=4327=2217．
（3）如解图,连接BM,AM,连接AC交OB于点N．

∵△OBC为等边三角形,点M为OC的中点
∴BM⊥OC,即∠BMO=90°
在Rt△AOB中,∠BAO=90°,∠ABO=30°
∴∠BOA=60°
∵∠BOC=60°,∴∠BOA=∠BOM
在△BAO和△BMO中
{∠BAO=∠BMO=90°∠BOA=∠BOMBO=BO
∴△BAO≌△BMO(AAS)
∴AB=BM,OA=OM
∴BO垂直平分AM,即点M关于直线BO的对称点为点A
∵△CMN的周长为CM+MN+CN,CM为定值
当CN+MN取最小值时,△CMN周长最小
即当点A、N、C三点共线时,△CMN的周长取得最小值,为AC+MC
∵点M是OC的中点,∴MC=12OC=2
∴AC+MC=27+2
∴△CMN周长的最小值为27+2．
【点睛】本题主要考查了三角形旋转,勾股定理,以及最短路径的作图,能够熟悉旋转的性质、熟练等面积法的运用和最短路径的作图是解决本题的关键．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,A0,2、B−2,0、C2,2,点E、F分别是直线AB和x轴上的动点,求△CEF周长的最小值．

【答案】△CEF周长的最小值为210．
【分析】分别作点C关于x轴、直线AB的对称点C'、C″,连接C'C″,分别交x轴、直线AB于点F、E,由对称AC性质可得CF=C'F,CE=C″E,此时△CEF的周长为CF+EF+CE=C'F+EF+C″E=C'C″．
【详解】如图,分别作点C关于x轴、直线AB的对称点C'、C″,连接C'C″,分别交x轴、直线AB于点F、E,由对称AC性质可得CF=C'F,CE=C″E,此时△CEF的周长为CF+EF+CE=C'F+EF+C″E=C'C″．

∴此时△CEF的周长最小,最小值为C'C″的长．
∵A0,2、B−2,0,
∴OA=OB,∴∠BAO=45°．
∵C2,2,∴C'2,−2,C″0,4．
过点C'作C'H⊥y轴于点H,
∴C'H=2,,C″H=6．
∴C'C″=C'H2+C″H2=210．
∴△CEF周长的最小值为210．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用轴对称正确找到点C'的位置．
13．（2021·全国·九年级专题练习）如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B两点,与y轴交于点C0,−3．
          
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①,连接BC,点P是抛物线在第四象限上一点,连接PB,PC,求△BCP面积的最大值；
（3）如图②,点D为抛物线的顶点,点C关于抛物线对称轴的对称点为点E,连接DE．将抛物线沿x轴向右平移t个单位,点A,B的对应点分别为A'、B',连接A'D、B'E,当四边形A'DEB'的周长取最小值时,求t的值．
【答案】（1）y=x2−2x−3；（2）当m=32时,S△BCP取得最大值,最大值为278；（3）t=27．
【分析】（1）根据点A、C的坐标,利用待定系数法即可得；
（2）先利用抛物线的解析式求出点B的坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,设Pm,m2−2m−3,从而可得Qm,m−3,然后利用三角形的面积公式可得S△BCP的表达式,最后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先求出顶点D的坐标,再根据点坐标、对称性分别求出点E的坐标、DE、AB的长,然后根据平行四边形的判定与性质、轴对称的性质得出A'D=B'D″=B'D',又根据两点之间线段最短得出当B'、E、D″三点共线时,B'D″+B'E取最小值D″E,从而得出此时四边形A'DEB'的周长最小,最后利用待定系数法求出直线D″E的解析式,从而得出点B'的坐标,据此即可得出答案．
【详解】（1）将A−1,0,C0,−3代入抛物线解析式,得1−b+c=0c=−3,
解得b=−2c=−3,
故抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）如解图①,过点P作x轴的垂线,交BC于点Q,
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3,
令y=0,则x2−2x−3=0,
解得x1=−1,x2=3,
∴B3,0,
设直线BC的解析式为y=kx+n,
将点B3,0,C0,−3代入y=kx+n得3k+n=0n=−3,解得k=1n=−3,
则直线BC的解析式为y=x−3,
设Pm,m2−2m−3,则Qm,m−3,PQ=3m−m2,且0