2023年中考数学压轴题培优专题10 胡不归问题（含答案解析）

这是一份2023年中考数学压轴题培优专题10 胡不归问题（含答案解析），共68页。试卷主要包含了 当点P在圆上等内容，欢迎下载使用。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题9胡不归（PA+kPB）型最短问题
解题策略


“PA＋k·PB”型的最值问题,当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题,而当k＞0时,若以常规的轴对称的方式解决,则无法进行,因此必须转换思路．
1. 当点P在直线上
如图,直线BM,BN交于点B,P为BM上的动点,点A在射线BM,BN同侧,已知sin∠MBN＝k．
过点A作AC⊥BN于点C,交BM于点P,此时PA＋k·PB取最小值,最小值即为AC的长．

证明 如图,在BM上任取一点Q,连结AQ,作QD⊥BN于点D．

由sin∠MBN＝k,可得QD＝ k·QB．
所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC,即得证．
2． 当点P在圆上
如图,⊙O的半径为r,点A,B都在⊙O外,P为⊙O上的动点,已知r＝k·OB．
在OB上取一点C,使得OC＝ k·r,连结AC交⊙O于点P,此时PA＋k·PB取最小值,最小值即为AC的长．

证明 如图,在⊙O上任取一点Q,连结AQ,BQ,连结CQ,OQ．

则OC＝ k·OQ,OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB,所以△COQ∽△QOB,
所以QC＝ k·QB．
所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC,即得证．
经典例题



【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1,0）,B（0,−3）,C（2,0）,其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点,若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点,连接PD,求12PB＋PD的最小值．

【例2】（2022·重庆·八年级期末）已知,在正方形ABCD中,点E,F分别为AD上的两点,连接BE、CF,并延长交于点G,连接DG,H为CF上一点,连接BH、DH,∠GBH+∠GED=90°

(1)如图1,若H为CF的中点,且AF=2DF,DH=102,求线段AB的长；
(2)如图2,若BH=BC,过点B作BI⊥CH于点I,求证：BI+22DG=CG；
(3)如图2,在（1）的条件下,P为线段AD（包含端点A、D）上一动点,连接CP,过点B作BQ⊥CP于点Q,将△BCQ沿BC翻折得△BCM,N为直线AB上一动点,连接MN,当△BCM面积最大时,直接写出22AN+MN的最小值．
【例3】（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD．


(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
(2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．
(3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当AQ+5−14CQ取最小值时,求∠QAC的正弦值．
【例4】（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B,且分别交x轴于点A和点C．

（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5,0）,点F为直线l1上一个动点,点P为y轴上一个动点,求当EF＋CF最小时,点F的坐标,并求出此时PF＋22OP的最小值．
培优训练


一、填空题
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图,在△ABC中,AB＝AC＝4,∠CAB＝30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．

2．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图,▱ABCD中∠A=60°,AB=6,AD=2,P为边CD上一点,则3PD+2PB的最小值为______．

3．（2022·湖北武汉·一模）如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),则OD+12CD的最小值为______．

4．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）如图,在△ACE中,CA＝CE,∠CAE＝30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点（不含端点）,则OD+12CD的最小值为 _____．

5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图,正方形ABCD的边长为4,点E为边AD上一个动点,点F在边CD上,且线段EF＝4,点G为线段EF的中点,连接BG、CG,则BG+12CG的最小值为 _____．

6．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,直线l分别交x、y轴于B、C两点,点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),且∠OCB＝60°,点P是直线l上一动点,连接AP,则AP+32PC的最小值是______．

7．（2021·全国·九年级专题练习）如图,直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点,点C（0,1）在y轴上,点P在x轴上运动,则2PC＋PB的最小值为___．

8．（2021·全国·九年级专题练习）如图,矩形ABCD中AB＝3,BC=3,E为线段AB上一动点,连接CE,则12AE＋CE的最小值为___．

9．（2021·四川·成都市树德实验中学八年级期末）如图,△ABC中,∠BAC＝75°,∠ACB＝60°,AC＝4,则△ABC的面积为_；点D,点E,点F分别为BC,AB,AC上的动点,连接DE,EF,FD,则△DEF的周长最小值为_．

10．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在边长为4的正方形ABCD内有一动点P,且BP＝2．连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ,则12DQ+CQ的最小值为 ___．

11．（2021·全国·九年级专题练习）如图,四边形ABCD是菱形,AB＝8,且∠ABC＝60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+12BM的最小值为_____．

12．（2021·全国·九年级专题练习）如图,▱ABCD中,∠DAB＝30°,AB＝6,BC＝2,P为边CD上的一动点,则2PB+ PD的最小值等于______.

13．（2022·四川自贡·一模）如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+55BD的最小值是__________．

14．（2021·全国·九年级专题练习）如图,抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且tan∠EBA=43,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是________s．

二、解答题
15．（2022·全国·九年级）如图,在平面直角坐标系中,直线y＝12x＋2与x轴交于点A,与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B．

(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)点P为线段AB上的动点,求AP＋2PC的最小值；
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
16．（2022·四川眉山·九年级专题练习）如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=−23x2−223x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C．

(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接AC,点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点,过点P作PD⊥AC交AC于点D,PE⊥x轴交AC于点E,求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2,将原抛物线沿射线CB方向平移33个单位得到新抛物线y',点M为新抛物线y'对称轴上一点,在新抛物线y'上是否存在一点N,使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标,并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在,请说明理由．
17．（2022·湖南长沙·八年级阶段练习）如图1,抛物线y=ax2+a+3x+3a≠0与x轴交于点A4,0,与y轴交于点B,在x轴上有一动点Em,0（0