浙江省杭州市萧山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

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浙江省杭州市萧山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编03 解答题

三、解答题
49．（2020·浙江杭州·八年级期末）解不等式组：.
50．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，和点.在内部，试求作一点，使得点到两边的距离相等，同时到点，的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹）

51．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，有正方形网格（每个小正方形边长为1），按要求作图并解答：

（1）在网格中画出平面直角坐标系，使点，，并写出点的坐标.
（2）平移，使点平移后所得的点是.
52．（2020·浙江杭州·八年级期末）已知关于的一次函数.
（1）若此函数图象经过点，当时，求的取值范围.
（2）若此一次函数图象经过第一、二、四象限，求的取值范围.
53．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，在等边中，点，分别是，上的点，将沿所在直线对折，点落在边上的点处，且.

（1）求的度数.
（2）若，求线段的值.
54．（2020·浙江杭州·八年级期末）关于函数和函数有如下信息：①当时，；当时，.②当时，.根据信息解答下列问题：
（1）①求函数的表达式；
②在平面直角坐标系中，画出，的图象.

（2）设，试求3条直线，，围成的图形面积.
55．（2020·浙江杭州·八年级期末）已知和都是等腰直角三角形，.
（1）若为上一动点时（如图1），

①求证：.
②试求线段，，间满足的数量关系.
（2）当点在内部时（如图2），延长交于点.

①求证：.
②连结，当为等边三角形时，直接写出与的直角边长之比.
56．（2021·浙江杭州·八年级期末）解不等式：．
57．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，图形甲在第一象限．

（1）请写出图形甲中点和点的坐标．
（2）作图形甲关于轴对称的图形．
58．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在和中，，，若，

（1）求证：．
（2）求的度数．
59．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知一次函数的图象经过点和．
（1）求该函数的表达式．
（2）若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标．
60．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且AE=DE．
（1）求证：DE//AC．
（2）若BE=5，BC=12，求△AED的周长．

61．（2021·浙江杭州·八年级期末）在中，，点是的中点，点是直线上一点（不与点，重合），连结，．
（1）如图

①若，求证：．
②若平分，且，求的度数．
（2）设，，若，求关于的函数关系式，并说明理由．

62．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知：直线和（且）交于点．
（1）若点的横坐标为2，求的值．
（2）若直线经过第四象限，求直线所经过的象限．
（3）点在直线上，点在直线上，当时，始终有，求的取值范围．
63．（2022·浙江杭州·八年级期末）以下是圆圆解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以．
由②，得，所以，
所以．所以原不等式组的解是．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
64．（2022·浙江杭州·八年级期末）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，若______，
求证：．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）

65．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知的三边，，．
(1)求证：是直角三角形．
(2)利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
66．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知函数y=（2m+1）x+m﹣3．
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围．
67．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．

(1)求证：
(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
68．（2022·浙江杭州·八年级期末）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．
(1)设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元，写出w（元）关于n（本）的函数关系式；
(2)若所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
(3)若学校根据实际除了A，B两种笔记本外，还需一种单价为10元的C笔记本，若购买的总本数不变，C笔记本的数量是B笔记本的数量的2倍，A笔记本的数量不少于B笔记本的数量，试设计一种符合上述条件购买方案，且使所需费用最少．
69．（2022·浙江杭州·八年级期末）（1）如图①，在中，D为外一点，若AC平分，于点E，，求证：；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得，连结CF，先证明≌得到
，再证明，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出，再证明≌，从而得出结论．请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程．

（2）如图②，D、E、F分别是等边的边BC、AB，AC上的点，AD平分，且．
求证：．










【答案】
49．
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集.
【详解】解：，
解①得，
解② 得x≤4，
∴不等式组的解集为：.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
50．见解析
【分析】分别作∠BAC的平分线和线段AD的垂直平分线，其交点即为所求点P．
【详解】如图，点P即为所求.

【点睛】此题主要考查了尺规作图，正确掌握角平分线和线段垂直平分线的性质是解题关键．
51．（1）见解析，点坐标为；（2）见解析
【分析】（1）先根据，确定两坐标轴，然后写出点C的坐标；
（2）由点平移后所得的点是判断出平移的方式，找出点A′和点B′，即可作出．
【详解】.解：（1）直角坐标系如图，
点坐标为 ；
（2）如图所示，

【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系，以及平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
52．（1）；（2）
【分析】（1）先把代入求出m的值，然后分别求出当x=和当x=2时y的值即可求出的取值范围；
（2）根据次函数的图象经过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
【详解】解：（1）将代入函数表达式得：，
∴即，
当x=时，y=+1=；
当x=2时，y=2+1=3；
∴当时，；
（2）由已知可得：，
∴.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
53．（1）45°；（2）.
【分析】（1）先求出，由折叠的性质求出∠ADE的度数，然后根据三角形内角和求解即可；
（2）先在中求出 ，，再在中求出CE即可.
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴ ，，
∵即，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）∵，∴.
在中，，
∴BD=2A′B，
设A′B=x，BD=2x，
则x2+()2=(2x)2，
∴x=1，
∴ ，，
∴等边的边长为，
又，即，而，
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，折叠的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.
54．（1）①②见解析；（2）9.
【分析】（1）由题意可知的图像经过和，用待定系数法求解即可；
（2）用两点法画出函数图像即可；
（3）先画出的图像，然后用割补法求解即可.
【详解】解：（1）①由已知得：，的交点坐标为，
与轴的交点坐标为，
将两点坐标代入的表达式，
得，
∴，
∴；
②，的图象如图，
（2）∵，
∴，关于轴对称，图象如图，
∴，的交点坐标为，
∴3条直线围成的三角形面积为.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点，一次函数的轴对称变化以及割补法求图形的面积，求出的解析式是解答本题的关键.
55．（1）①证明见解析；②，理由见解析；（2）①证明见解析；②
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质和“SAS”证明即可；
②先证明，然后根据勾股定理说明即可；
（2）①由可证，然后利用角的和差即可求出；
②先证明△BCD≌△BEC，从而可得∠DCB=∠ECB=45°，∠DBC=∠EBC=30°，设OC=OE=x，根据勾股定理分别表示出CE和BC的长，然后求比值即可.
【详解】（1）①证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴， ，，
∴，
∴，
∴.
②解：∵，
∴，，
∴，
∴，即；
（2）①证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴由（1）易知，
∴，
∴
，
∴，即；
②∵△BDE是等边三角形，
∴BD=BE=DE，
又∵CD=CE，BC=BC，
∴△BCD≌△BEC，
∴∠DCB=∠ECB=45°，∠DBC=∠EBC=30°，
∴BC⊥DE，
∴△COE是等腰直角三角形，
设OC=OE=x，则CE=x，BE=2OE=2x，BO=x，
∴BC=x+x，
∴.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键熟练掌握全等三角形的判定以及勾股定理的应用．
56．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：去分母，得．        
去括号，得．             
移项，得．                 
合并同类项，得．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
57．（1）点，点；（2）见解析
【分析】（1）根据点的位置写出对应坐标；
（2）找到各个点关于y轴的对称点，连接即可得到对称图形．
【详解】（1）点，点；
（2）如图所示：

【点睛】本题考查平面直角坐标系和轴对称图形，解题的关键是掌握点坐标的定义和轴对称图形的画法．
58．（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）利用“SAS”证明，即可得到结论；
（2）由得，再根据即可求出结论．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．
59．（1）；（2）点或
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）设，根据面积为6列方程即可．
【详解】解：（1）把、分别代入得，
，
解得 ，
∴一次函数表达式为．                         
（2）设，则，
∵的面积为6，
∴，
解得或6，                    
∴点或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和坐标系中面积问题，解题关键是熟练运用待定系数法，会用坐标表示线段长，根据面积列方程．
60．（1）见解析;（2）18
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”和等边对等角的性质即可得到∠EAD=∠CAD，从而得到平行；
（2）根据三角形的中位线和勾股定理分别求出△AED的边长即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE//AC；
（2）∵AD是BC边上的中线，即D是BC的中点，DE//AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BE=5，
∴AE=DE=5，AB=10，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BC=12
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴，
∴△AED的周长为5+5+8=18．
【点睛】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，注意等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．
61．（1）①见解析；②22°；（2）或，见解析
【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；
②设，则，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x的值即可；
（2）分情况讨论，当点E在线段BC上，或当点E在线段BC的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．                                     
∵，
∴，
∴；                                         
②解：设，则，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，解得，                     
∴；                              
（2）①如图，当时，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，得；

②如图，当时
∴，
∴，得．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．
62．（1）；（2）当时，直线经过第一、二、四象限；当时，直线经过第一、二、三象限；（3）且
【分析】（1）把点A的横分别代入和（且），即可得解；
（2）先根据经过第四象限，求出k的范围，再分两种情况讨论即可；
（3）根据，而时，始终有，可得出，进而得出结果．
【详解】解：（1）∵两条直线交于点，且点的横坐标为2，
∴，得．                         
（2）∵直线经过第四象限，
∴．                                             
∴当时，直线经过第一、二、四象限；    
当时，直线经过第一、二、三象限．     
（3）由题意，得：，，
∴．             
∵时，总有，
∴，得，
∴且．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，灵活运用一次函数的性质解决问题是本题的关键．
63．有错误，过程见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：以上解答过程有错误，
正确解答如下：
由①，得：2+2x＞-2，
∴x＞-2，
由②，得：-1+x＞3，
∴x＞4，
所以原不等式组的解集为x＞4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
64．∠A=∠E（答案不唯一）
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△EDF，可得EF=AC．
【详解】解：若∠A=∠E，
∵AD=BE，
∴AB=DE，
∵∠ADF=∠CBE，
∴∠FDE=∠CBA，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
∴EF=AC．
故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
65．(1)见解析
(2)3，4，5；8，6，10（答案不唯一）

【分析】（1）知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；
（2）依据m＞1，a，b，c均为正整数，即可得到直角三角形的边长．
【小题1】解：∵△ABC的三边a=m2-1（m＞1），b=2m，c=m2+1，
而当m＞1时，m2-1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2-1）2+（2m）2=m4+1-2m2+4m2=（m2+1）2，
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
【小题2】当m=2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m=3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
66．（1）m=3；（2）m＜-；（3）m≥3
【详解】试题分析：（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解；
（2）直线y=kx+b中，y随x的增大而减小说明k＜0；
（3）根据图象不经过第四象限，说明图象经过第一、三象限或第一、二、三象限要分情况讨论．
（1）把（0，0）代入，得m-3=0，m=3；
（2）根据y随x的增大而减小说明k＜0，即2m+1＜0，m＜-；
（3）若图象经过第一、三象限，得m=3．
若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0，m-3＞0，解得m＞3，
综上所述：m≥3．
考点：本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质
点评：能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
67．(1)见解析
(2)AB=BD+CD，理由见解析

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．
（1）
解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）
AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．
68．(1)w=4n+240
(2)购买A笔记本5本，B笔记本25本费用最少，最少的费用是260元
(3)购买A笔记本9本，B笔记本7本，C笔记本14本所需费用最少

【分析】（1）总费用=12×A种笔记本的本数+8×B种笔记本的本数；
（2）根据所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，可以列出相应的不等式组，从而可以求得n的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）设购买B笔记本a本，根据购买的总本数不变，C笔记本的数量是B笔记本的数量的2倍，A笔记本的数量不少于B笔记本的数量，列不等式组求出a的取值范围，设购买总费为W元，根据题意得出W与a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【小题1】解：由题意可知：w=12n+8（30-n），
∴w=4n+240；
【小题2】∵A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的，
∴，
解得5≤n≤，
∵n为整数，
∴5≤n≤13，
由（1）可得w=4n+240，
∵4＞0，
∴w随n的增大而增大，
∴当n=5时，w取到最小值为260元；
答：购买A笔记本5本，B笔记本25本费用最少，最少的费用是260元；
【小题3】设购买B笔记本a本，则C笔记本的数量为2a本，A笔记本的数量为（30-3a）本，
根据题意得：30-3a≥a，
解得：a≤7.5，
∵a是整数，
∴a≤7且a是整数；
设购买总费为W元，根据题意得：W=12（30-3a）+8a+10×2a=-8a+360，
∵-8＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=7时，W取到最小值为304元；
30-3a=9（本），
答：购买A笔记本9本，B笔记本7本，C笔记本14本所需费用最少．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
69．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）琮琮同学：在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC=FC，再证明CB=CF，从而得出结论；
宸宸同学：过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论；
（2）在DE上截取DH=DF，连接AH，由“SAS”可证△ADF≌△ADH，可得AH=AF，∠AFD=∠AHD，由等腰三角形的性质可得AE=AH=AF，可得结论．
【详解】解：证明：琮琮同学：如图①a，在AB上取点F，使AF=AD，连接CF，

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠FAC，
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC=FC，∠CDA=∠CFA，
又∵∠B+∠ADC=180°，∠CFE+∠AFC=180°，
∴∠B=∠CFE，
∴CB=CF，
又∵DC=FC，
∴CB=DC．
宸宸同学：如图①b，过点CG⊥AD交AD的延长线于G．

∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB，
∴CG=CE，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠CDG=∠B，
在△CGD和△CEB中，
，
∴△CGD≌△CEB（AAS），
∴CB=CD；
（2）如图②，在DE上截取DH=DF，连接AH，

∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA=∠HDA，
在△ADF和△ADH中，
，
∴△ADF≌△ADH（SAS），
∴AH=AF，∠AFD=∠AHD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
又∵∠AHD+∠AHE=180°，
∴∠AHE=∠AEH，
∴AE=AH，
∴AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．