2021学年第4章 相似三角形综合与测试单元测试习题

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在比例尺是：的地图上，若某条道路长约为，则它的实际长度约为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图，在的正方形网格中，连接两格点，，线段与网格线的交点为点，则：为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

3.    如图，，点，分别在线段，上，与交于点则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图，在中，，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.    在中，，，，一个和它相似的三角形的最短边是，那么该三角形最长边是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如果两个相似三角形的相似比为：，那么这两个相似三角形的面积比为

A.  B.  C.  D.

7.    已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是(    )

A. 　　　  　
B.       
C. 　　　　
D.

8.    如图，在中，，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    某地图上面积表示实际面积，则该地图的比例尺是(    )

A. ． B. ． C. ． D. ．

10. 若两个相似三角形对应边上的高线之比为：，则对应角的平分线之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

11. 一块矩形绸布的长米，宽米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且位似比为：，下列结论不正确的是(    )

A.
B.
C. 是的中位线
D. ：：

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，，，进行如下操作：

以点为圆心，以的长为半径画弧交于点

以点为圆心，以的长为半径画弧交于点．

则点是线段的黄金分割点，根据以上操作，的长为          ．

14. 如图，，，，，则__________．

15. 如图，已知点在上，且：：，点是延长线上一点，：：，连接与交于点，则：______．

16. 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：；；；中的一个，不能得出和相似的是：______填序号．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在中，点在边上，且，已知，．
    求的度数；
    我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比或者底边长与腰长的比等于黄金比．
    写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
    求的长；

18. 本小题分
    已知线段，，求线段，的比例中项．
    已知：：，求的值．
19. 本小题分
    如图，已知，，，，．
    求的长；
    求的长．

20. 本小题分
    如图，在中，，分别是和上的点，且．
    若，，，求的长；
    若，，，求的长．

21. 本小题分
    如图，已知∽，，，，求和的长．

22. 本小题分
    学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度如图如图，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，，，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
     

23. 本小题分
    如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，依次应，，，且都在格点上．
    在图上画出位似中心；
    根据图形，直接写出点的坐标，及与的面积比．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，给出了格点顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为．
    画出关于轴对称的．
    以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为．
    与的位似比是______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．
设它的实际长度为厘米，根据比例尺的定义得到，然后利用比例性质计算出，再把单位化为千米即可．
【解答】
解：设它的实际长度为厘米，
根据题意得，
解得，
千米．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到．
【解答】
解：如图，

，
．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：、，
，本选项结论不正确；
B、，
，本选项结论不正确；
C、，
，，
，本选项结论不正确；
D、，
，本选项结论正确；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设三角形的最长边为，
在中，，，，一个和它相似的三角形的最短边是，
，
解得：，
故选：．
根据相似三角形的性质得出关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质得出方程是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边的比相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的相似比为：，
这两个相似三角形的面积比为：．
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定： 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 
【解答】
解：

，，都可判定∽
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，，，
，
，
故选：．
由已知得出∽，根据对应边成比例列出方程即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形对应边成比例列方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查比例尺先设该地图的比例尺是，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得的值即可．
【解答】
解：设该地图的比例尺是，根据题意得：
，
解得，舍去．
则该地图的比例尺是
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由相似三角形对应线段的比等于相似比可求得答案．
【解答】

解：
两个相似三角形对应高之比是：，
两个相似三角形的相似比是：，
它们的对应角平分线之比为：，
故选C．
 

11.【答案】 

【解析】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，

解得或舍去，

故选：．
由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
 

12.【答案】 

【解析】解：、与是以点为位似中心的位似图形，
，本选项说法正确，不符合题意；
B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为：，
，
∽，
，本选项说法正确，不符合题意；
C、同选项可知，∽，，
是的中位线，本选项说法正确，不符合题意；
D、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为：，
：：，本选项说法不正确，符合题意；
故选：．
根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】
解：，
，即，
解得，，
，
故答案为．  

15.【答案】： 

【解析】解：过点作，交于点，
，
：：，
，
，
即，
：：，
，
，
．
即：：．
故答案为：：．
过点作，交于点，求出，得出，根据已知推出，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分的线段对应成比例是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当，时，∽，故不符合题意；
当，时，∽，故不符合题意；
当，时，不能推出∽，故符合题意；
当，时，∽，故不符合题意；
故答案为：．
根据相似三角形的判定定理可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

17.【答案】解：设，
，
，
，
，
，
，
，解得，
即的度数为；
、、都是黄金三角形．
理由如下：，，
为黄金三角形；
，
而，
，
而，
为黄金三角形；
，
而，
为黄金三角形；
为黄金三角形，
，
而，
，
，
，
． 

【解析】设，利用等腰三角形的性质得到，则，再表示出，利用三角形外角性质得到，解方程求出即可；
利用黄金三角形的定义可判断、、都是黄金三角形．
根据黄金三角形的定义得到，则，所以，然后计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
 

18.【答案】解：设线段是线段，的比例中项，
，，
：，
，
负值舍去．
线段，的比例中项是．
：：，
设，，
． 

【解析】设线段是线段，的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
设，，代入计算，于是得到结论．
本题考查了比例的性质，比例中项，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，即，
解得，，
则；
，
，即，
解得，． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，即，
解得，；
，
，即，
解得，，
． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
∽，
，即，
解得，，，
． 

【解析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形得到对应边成比例是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，由题意可知，
∽，∽，
，，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
则，即，
解得：，
答：该古建筑的高度为米． 

【解析】设 ，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于的方程，即可求出建筑物的高度．
本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
∽，
，
，
．
答：这棵树的高度为． 

【解析】直接利用已知得出∽，再利用相似三角形的性质得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
 

24.【答案】解：如图所示；
点的坐标为；
，
与的面积比为：：． 

【解析】连接、，交于点，即可得到结论；
求出边长为和的正方形的对角线，得到与的长，求出与的比值，根据三角形与三角形相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

25.【答案】： 

【解析】解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求；

与的位似比是：：．
故答案为：：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案；
直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案；
直接利用中对应点变化进而得出位似比．
此题主要考查了位似变换以及关于轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．