人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教学设计

课程目标

学科素养

A..掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.

B.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.

C.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.

1.数学抽象：斜截式方程与一次函数的关系

2.逻辑推理：直线点斜式和斜截式方程的推导

3.数学运算：求直线点斜式和斜截式方程

4.直观想象：通过图像

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

    笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。

    在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。

       笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。

     我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点和斜率就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标与点坐标和斜率之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？

二、探究新知

在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率=2,即得方程y=2x+3.这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?

一、直线的点斜式方程

点睛1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.

2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.

3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.

1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是(　　)

A.2　　　B.-1         C.3          D.-3

答案:C

2.方程k=与y-y0=k(x-x0)一样吗?

答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).

二、直线的斜截式方程

点睛 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.

2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.

3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.

3.直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为　　　　　. 

答案:3

4.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?

答案:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.

三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直

对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,

l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;

l1⊥l2⇔k1k2=-1.

点睛：两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合.

5.已知直线l1:y=x+2与l2:y=-2ax+1平行,则a=　　　　　. 

解析:由l1∥l2,得-2a=1,所以a=-.答案:-

三、典例解析

例1求满足下列条件的直线方程:

(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍;

(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;

(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.

思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.

解:(1)∵直线y=x的斜率为,

∴倾斜角为30°.

∴所求直线的倾斜角为60°,其斜率为.

∴所求直线方程为y+3=(x-2),

即x-y-2-3=0.

(2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.

但直线上点的横坐标均为5,

故直线方程可记为x=5.

(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率kPQ==-1.

∵直线过点P(-2,3),

∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.

                               点斜式方程的求法

(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.

(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.

跟踪训练1 直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.

(1)直线l2∥l1;

(2)直线l2⊥l1.

解:(1)由已知直线l1的斜率k1=tan 135°=-1.

因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.

又直线l2经过点B(-1,4),

代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.

(2)由已知直线l1的斜率k1=tan 135°=-1.

因为l2⊥l1,所以直线l2的斜率k2=-=1.

又直线l2经过点B(-1,4),

代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.

例2 求满足下列条件的直线方程:

(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;

(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.

思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.

解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,

所以所求直线斜率为-

又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-,即x+3y+6=0.

(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.

由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.

由直线方程的斜截式,得y=-2x-2,即2x+y+2=0.

                             斜截式方程的求法

      已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.

跟踪训练2  已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.

解:设l:y=-x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=b.

由题意,得·|b|·=6,

∴b2=16,∴b=±4.

故直线l的方程为y=-x±4.

通过对解析几何创始人，数学家笛卡尔的介绍，让学生初步体会坐标法的思想方法，并提出问题，明确研究问题运用方程思想，求解直线点斜式方程。

由坐标系中的直线，让学生理解已知直线两个要素，建立直线方程的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让理解运用直线点斜式和斜截式方程的方法，提升推理论证能力，进一步体会坐标法解决问题的基本思想。

三、达标检测

1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)

A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1

B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1

C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1

【答案】C　[方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.]

2．直线y＝(x－)的斜率与在y轴上的截距分别是(　　)

A．，　　B．，－3      C．，3     D．－，－3

【答案】B　[由直线方程知直线斜率为，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.]

3．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．

【答案】y－1＝－(x－2)　[直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]

4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a＝________.

【答案】1　[由题意得a＝2－a，解得a＝1.]

5.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是　　　　. 

【答案】(-1,2)

6．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．

【答案】直线y＝x＋的斜率k＝，

则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.

以直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－.

所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。