山西省大同市平城区第六中学校2022-2023学年九年级上学期暑期学情检测数学试卷（含答案）

这是一份山西省大同市平城区第六中学校2022-2023学年九年级上学期暑期学情检测数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省大同六中九年级第一学期暑期检测数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共21分）
1．在如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③
2．关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2﹣＝7；③3x2﹣4x+5＝0；④（x+1）2﹣x2＝3中，一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
4．已知点A关于原点对称的点的坐标为（a，b），那么点A关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b）
5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
6．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A．3 B．2 C．2 D．4
7．如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B． C．3﹣ D．3﹣
二、填空题：（每小题3分，共15分）
8．若方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
9．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
10．已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为　 　．
11．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 　 　．

12．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，则所围矩形猪舍的长为 　 　宽为 　 　时面积为96m2．

三、解答题：（共64分）
13．（20分）用适当方法解方程：
（1）y2﹣15＝2y；
（2）x2+2x+3＝0；
（3）（x﹣2）2+（x+2）2＝4x﹣6；
（4）4（x+2）（x﹣3）＝（x﹣3）2．
14．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．

15．若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（ 　 　）＝0，
即（ 　 　）+（ 　 　）＝0．
根据非负数的性质，得m＝n＝　 　．
（1）阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；
（2）设等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求△ABC的周长．
16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

17．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
18．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．



参考答案
一、选择题：（每小题3分，共21分）
1．在如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，结合选项所给的图形即可得出答案．
解：①不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
②是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
④不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
综上可得③符合题意．
故选：D．
2．关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2﹣＝7；③3x2﹣4x+5＝0；④（x+1）2﹣x2＝3中，一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
②x2﹣＝7属于分式方程；
③3x2﹣4x+5＝0符合一元二次方程的定义；
④（x+1）2﹣x2＝3，化简得2x﹣2＝0，是一元一次方程．
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
故选：A．
3．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．
解：∵2x2﹣3x+1＝0，
∴2x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
（x﹣）2＝；
∴一元二次方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式是：（x﹣）2＝；
故选：C．
4．已知点A关于原点对称的点的坐标为（a，b），那么点A关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出A点坐标，再利用关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．
解：∵点A关于原点对称的点的坐标为（a，b），
∴A点坐标为：（﹣a，﹣b），
∴点A关于y轴对称的点的坐标是：（a，﹣b）．
故选：A．
5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A．3 B．2 C．2 D．4
【分析】根据旋转的性质得出∠CAC1＝60°，AC＝AC1＝，求出∠BAC1＝90°，根据勾股定理求出即可．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB＝，AC＝，
∴∠CAC1＝60°，AC＝AC1＝，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，
在Rt△BAC1中，由勾股定理得：BC1＝＝＝3，
故选：A．
7．如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B． C．3﹣ D．3﹣
【分析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明Rt△ABM≌Rt△C′BM，得到∠2＝∠3＝30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴影部分面积＝正方形面积﹣2△ABM的面积即可得到答案．
解：连接BM，
在Rt△ABM和Rt△C′BM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△C′BM，
∠2＝∠3＝＝30°，
在△ABM中，
AM＝×tan30°＝1，
S△ABM＝＝，
正方形的面积为：＝3，
阴影部分的面积为：3﹣2×＝3﹣，
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共15分）
8．若方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　2　．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|＝2，求出即可．
解：∵（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0，|m|＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
9．若|b﹣1|+＝0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤4且k≠0　．
【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由一元二次方程的根的判别式来求k的取值范围．
解：∵|b﹣1|+＝0，
∴b﹣1＝0，＝0，
解得，b＝1，a＝4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个实数根，
∴Δ＝a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
10．已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为　19　．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
∴三角形的周长＝2+8+9＝19．
故答案为：19．
11．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 　（7，3）　．

【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B′的坐标．
解：直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，
∵旋转前后三角形全等，∠O′AO＝90°，∠B′O′A＝90°
∴OA＝O′A，OB＝O′B′，O′B′∥x轴，
∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，
横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7，
故点B′的坐标是（7，3），
故答案为：（7，3）．
12．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，则所围矩形猪舍的长为 　12m　宽为 　8m　时面积为96m2．

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，
可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，
由题意得x（27﹣2x+1）＝96，
解得：x1＝6，x2＝8．
当x＝6时，27﹣2x+1＝16＞15（舍去），
当x＝8时，27﹣2x+1＝12．
答：当所围矩形猪舍的长为12m宽为8m时面积为96m2．
故答案为：12m，8m．
三、解答题：（共64分）
13．（20分）用适当方法解方程：
（1）y2﹣15＝2y；
（2）x2+2x+3＝0；
（3）（x﹣2）2+（x+2）2＝4x﹣6；
（4）4（x+2）（x﹣3）＝（x﹣3）2．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）先把方程化为一般式，然后根据判别式的意义判断方程没有实数解；
（4）先移项得到4（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）y2﹣2y﹣15＝0，
（y﹣5）（y+3）＝0，
y﹣5＝0或y+3＝0，
所以y1＝5，y2＝﹣3；
（2）x2+2x+3＝0，
（x+）2＝0，
x+＝0，
所以x1＝x2＝﹣；
（3）（x﹣2）2+（x+2）2＝4x﹣6；
x2﹣4x+4+x2+4x+4＝4x﹣6，
整理得x2﹣2x+14＝0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4×14＝﹣52＜0，
所以方程没有实数解；
（4）4（x+2）（x﹣3）＝（x﹣3）2，
4（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
（x﹣3）（4x+8﹣x+3）＝0，
x﹣3＝0或4x+8﹣x+3＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣．
14．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．

【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点A1、B1绕点C1按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（﹣2，﹣1）．


（2）如图所示，△A2B2C1即为所求．
15．若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（ 　n2﹣8n+16　）＝0，
即（ 　（m﹣n）2　）+（ 　（n﹣4）2　）＝0．
根据非负数的性质，得m＝n＝　4　．
（1）阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；
（2）设等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征及加法运算律将已知等式左边变形，再利用非负数的性质求出m与n的值；
（2）已知等式配方后求出a与b的值，即可确定出三角形周长．
解：（1）∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
即（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．
根据非负数的性质，
∴m＝n＝4，
故答案为：n2﹣8n+16；（m﹣n）2；（n﹣4）2；4；
（2）已知等式变形得：（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，
所以a＝2，b＝3，
当a为腰时，三边为2，2，3，周长＝7；
当b为腰时，三边为3，3，2，周长＝8．
故△ABC的周长为7或8．
16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．
解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
由（1）得：AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2＝2AB2，即BD＝2，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．
17．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
18．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．

【分析】（1）根据旋转的性质得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，则∠CD′E＝30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α＝30°；
（2）由G为BC中点可得CG＝CE，根据旋转的性质得∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′，则∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′＝E′D；
（3）根据正方形的性质得CB＝CD，而CD＝CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α＝135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α＝315°．
【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′＝CD＝2，
在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，
∴∠CD′E＝30°，
∵CD∥EF，
∴∠α＝30°；

（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG＝1，
∴CG＝CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，
∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′＝E′D；

（3）解：能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，
∵CD＝CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝＝135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°
则α＝360°﹣＝315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．