2022-2023学年山西省大同市平城一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2022-2023学年山西省大同市平城一中九年级（上）月考数学试卷（12月份），共29页。试卷主要包含了单选题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省大同市平城一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波拉切螺旋线
2．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
3．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C'，且点C'落在AB上（　　）

A．100° B．120° C．135° D．140°
6．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18（　　）

A．7 B．9 C．12 D．14
7．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
8．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为41﹣k2的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
9．（3分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1），第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣1
0
3
…
由如表可知，下列结论正确有（　　）
①a＜0；
②抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
③抛物线的对称轴是直线x＝2；
④当x＜1时，y随x增大而减小；
⑤当y＞0，则x的取值范围是1＜x＜3．
A．①④⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．①②③
二、填空（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　 　．
12．（3分）如图，半径为30cm的转动轮转过60°时，传送带上的物体A平移的距离为 　 　cm．

13．（3分）已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝图象上，则y1、y2、y3的关系是 　 　（用“＜”连接）．
14．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 　 　m．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的　 　．

三、解答题（共7个大题，16题7分，17题7分，18题9分，19题9分，20题9分，21题10分，22题11分，23题13分，共75分）
16．（7分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3744换算成十进制数是 　 　；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值．

17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标为 　 　；
（2）直接写出△A1B1C1的面积为 　 　；
（3）将△ABC绕原点O旋转90°后，则点C对应点C2的坐标为 　 　．（直接写出）

18．（9分）如图，⊙O外接于△ABC，延长BO交⊙O于点D
（1）求证：∠BAC＝∠BCE．
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求⊙O的半径．

19．（9分）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试．他们各自的成绩（单位：分）如下表所示：

专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1，请计算这三名应聘者的平均成绩，应该录取谁？
20．我市举行了某学科实验操作考试，有A，B，C，D四个实验，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王、小张、小厉都参加了本次考试．
（1）小厉参加实验D考试的概率是 　 　；
（2）用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）（m，8），B（4，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

22．（10分）某矩形工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为1200cm2，求丝绸花边的宽度．
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价50元/件销售，那么每天可售出100件，根据销售经验，如果将销售单价每涨1元，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？

23．（11分）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法．
已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，且∠EAF＝45°，
（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？


24．（13分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点E为抛物线在第一象限上的一个点，连接BE，CE，求出△BCE的最大面积和点E的坐标．



2022-2023学年山西省大同市平城一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波拉切螺旋线
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【答案】D
【分析】把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．
【解答】解：方程x2+8x+4＝0，
移项得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+3x+16＝7，
即（x+4）2＝7，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣配方法，解答此类题目时方程的常数项移到等号右边后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
3．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
【解答】解：A、由一次函数图象过一，得a＞0，则b＜0，
满足ab＜5，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y＝的图象过一，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二，得a＜0，则b＞7，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y＝的图象过二，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一，得a＞5，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞7，
∴反比例函数y＝的图象过一，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二，得a＜0，则b＜0，
满足ab＞8，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．
4．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【答案】A
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移8个单位，再向下平移2个单位2﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C'，且点C'落在AB上（　　）

A．100° B．120° C．135° D．140°
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，∠C＝∠AC'B'＝90°，∠BAC＝∠B'AC'＝40°，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C'，
∴AB＝AB'，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴∠B'BA＝70°，
∵∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠B'BC＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，分别交PA、PB于点C、D，若△PCD的周长为18（　　）

A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】B
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，再利用△PCD的周长为18得到PC+CE+DE+PD＝18，然后利用等线段代换得到PA+PB＝18，从而得到PA的长．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA＝PB，CA＝CE，
∵△PCD的周长为18，
∴PC+CE+DE+PD＝18，
∴PC+CA+DB+PD＝18，
即PA+PB＝18，
∴PA＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，掌握切线长定理是解决问题的关键．
7．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
【答案】A
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．
【解答】解：设有x个队参赛，根据题意
x（x﹣4）＝36，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
8．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为41﹣k2的值为（　　）

A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】A
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah＝k1，bh＝k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），h）1，bh＝k2．
∵S△ABC＝AB•yA＝（a﹣b）h＝（k1﹣k7）＝4，
∴k1﹣k4＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．
9．（3分）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1），第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知图形得出第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得．
【解答】解：∵第1个图形中正方体的个数为1，
第8个图形中正方体的个数3＝1+4，
第3个图形中正方体的个数6＝6+2+3，
∴第100个图形中，正方体一共有8+2+3+……+99+100＝，其中写有“心”字的正方体有100个，
∴抽到带“心”字正方体的概率是＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第n个图形中正方体个数和概率公式．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣1
0
3
…
由如表可知，下列结论正确有（　　）
①a＜0；
②抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
③抛物线的对称轴是直线x＝2；
④当x＜1时，y随x增大而减小；
⑤当y＞0，则x的取值范围是1＜x＜3．
A．①④⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．①②③
【答案】C
【分析】由表格可知（1，0），（3，0）两点纵坐标相等，抛物线对称轴为直线x＝2，据此可以判断③，根据二次函数的对称轴判断②，根据表格数据和二次函数的性质判断①④⑤．
【解答】解：观察表格可知（1，0），4）两点纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝2；
∴顶点为（2，﹣6），
由表格可知函数有最小值﹣1，
∴开口向上，则a＞0；
∴当x＜7时，y随x增大而减小；
∵对称轴为直线x＝2，
∴（4，2）关于对称轴的对称点为（0，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，7）；
∵抛物线开口向上，过点（1，（3，
∴当y＞4，则x的取值范围是x＜1或x＞3
正确的有②③④，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格，判断二次函数的对称轴及开口方向，此题难度不大．
二、填空（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　16　．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0得x6＝3、x2＝8，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为8．
∴这个三角形的周长是3+6+2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
12．（3分）如图，半径为30cm的转动轮转过60°时，传送带上的物体A平移的距离为 　10π　cm．

【答案】10π．
【分析】传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过60°角的扇形的弧长，根据弧长公式可得．
【解答】解：＝10π（cm）．
故答案为：10π．
【点评】本题考查了弧长的计算公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），解题的关键是理解传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过60°角的扇形的弧长．
13．（3分）已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝图象上，则y1、y2、y3的关系是 　y2＜y3＜y1　（用“＜”连接）．
【答案】y2＜y3＜y1．
【分析】先判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，﹣a4﹣1＜0，
∴函数图象的分别位于二、四象限．
∵﹣4＜1＜2，
∴点A（﹣5，y1）位于第二象限，
∴y1＞7，
∴B（1，y2）和C（4，y3）位于第四象限，
∴y2＜y5＜0，
∴y2＜y2＜y1．
故答案为：y2＜y7＜y1．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 　600　m．
【答案】600．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解答】解：∵y＝60t﹣t5＝﹣（t﹣20）6+600，
∴t＝20时，y取最大值600，
即在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是600m，
故答案为：600．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的最大距离即为y的最大值是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的　　．

【答案】见试题解答内容
【分析】作B′E⊥AC交CA的延长线于E，由直角三角形的性质求得AC、AE，BC的值，根据旋转再求出对应角和对应线段的长，再在直角△B′EC中根据勾股定理求出B′C的长度．
【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝3，
∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，
∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°，
∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°．
∵B′E⊥EC，
∴∠AB′E＝30°，
∴AE＝3，
∴根据勾股定理得出：B′E＝＝3，
∴EC＝AE+AC＝6，
∴B′C＝＝＝2．
故答案为：3．

【点评】本题把旋转的性质和直角三角形的性质结合求解，考查了学生综合运用数学知识的能力．
三、解答题（共7个大题，16题7分，17题7分，18题9分，19题9分，20题9分，21题10分，22题11分，23题13分，共75分）
16．（7分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3744换算成十进制数是 　2020　；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值．

【答案】（1）2020；
（2）11．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）3746＝3×84+7×82+4×84+4×84
＝1536+448+32+4
＝2020．
故八进制数字3744换算成十进制是2020．
故答案为：2020；
（2）依题意有：n2+7×n1+3×n2＝80，
解得n1＝11，n2＝﹣8舍去．
故n的值是11．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标为 　（﹣1，﹣1）　；
（2）直接写出△A1B1C1的面积为 　2　；
（3）将△ABC绕原点O旋转90°后，则点C对应点C2的坐标为 　（﹣2，4）或（2，﹣4）　．（直接写出）

【答案】（1）（﹣1，﹣1）；
（2）2；
（3）（﹣2，4）或（2，﹣4）．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）根据旋转的定义作出三顶点绕原点O顺时针与逆时针旋转90°后得到的对应点，即可写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7即为所求，点B的对应点B1的坐标为（﹣1，﹣6）．
故答案为：（﹣1，﹣1）；

（2）△A3B1C1的面积＝5×3﹣×1×3﹣×2×2＝4．
故答案为：2；

（3）如图，△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的是△A2B6C2，点C2的坐标为（﹣8，4）；
△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的是△A′2B′3C′2，点C′2的坐标为（3，﹣4）；
综上所述，点C对应点C2的坐标为（﹣2，4）或（2．
故答案为：（﹣5，4）或（2．


【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
18．（9分）如图，⊙O外接于△ABC，延长BO交⊙O于点D
（1）求证：∠BAC＝∠BCE．
（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）2．
【分析】（1）连接CD，由圆周角定理可得∠BCD＝90°，利用直角三角形的性质及余角的定义可证得∠BCE＝∠BDC，进而可证明结论；
（2）利用直角三角形的性质可得∠CBD＝30°，即可得BD＝2CD，再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解．
【解答】（1）证明：连接CD，

∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠BDC+∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠BCE；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BCE＝60°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD，
∵BC＝2，BD2﹣CD2＝BC5，
∴（2CD）2﹣CD2＝（2）3，
解得CD＝2，
∴BD＝4，
∴⊙O的半径为7．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识的综合运用，作合适的辅助线是解题的关键．
19．（9分）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试．他们各自的成绩（单位：分）如下表所示：

专业知识
讲课
答辩
甲
70
85
80
乙
90
85
75
丙
80
90
85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1，请计算这三名应聘者的平均成绩，应该录取谁？
【答案】应该录取乙．
【分析】根据加权平均数分别计算三人的平均成绩，比较大小即可得出答案．
【解答】解：甲的平均成绩是：＝77（分），
乙的平均成绩是：＝86.5（分），
丙的平均成绩是：＝84.5（分），
∵乙的平均成绩最高，
∴应该录取乙．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
20．我市举行了某学科实验操作考试，有A，B，C，D四个实验，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王、小张、小厉都参加了本次考试．
（1）小厉参加实验D考试的概率是 　　；
（2）用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小王、小张抽到同一个实验的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小厉参加实验D考试的概率是 ，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小王，
∴小王、小张抽到同一个实验的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（x＞0）（m，8），B（4，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

【答案】（1）y＝﹣2x+10；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）15．
【分析】（1）先把A、B点坐标代入y＝出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据图象可以直接写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
【解答】解：（1）∵点A（m，8），n）两点在反比例函数y＝，
∴m＝6，n＝2，
即A（1，4），2）．
又∵点A（1，5），2）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
则该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+10；

（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜5或x＞4；

（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，垂足分别是E．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+10＝7，得x＝5，0）．
∵A（5，8），2），
∴AE＝2，BC＝2，
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×5×8﹣．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
22．（10分）某矩形工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为1200cm2，求丝绸花边的宽度．
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价50元/件销售，那么每天可售出100件，根据销售经验，如果将销售单价每涨1元，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）先根据题意设每件工艺品涨价为x元出售，获利y元，则涨价x元后可卖出的总件数为（100﹣2x）元，每件获得的利润为（50+x﹣40）元，此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润﹣每天费用，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，
根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣1200，
解得：x＝10或x＝60（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为10cm；
（2）设每件工艺品涨价x元出售，所获利润为y元，
根据题意可得：y＝（100﹣2x）（50+x﹣40）﹣200
＝﹣8x2+80x+800
＝﹣2（x﹣20）3+1600，
所以当x＝20时，y取得最大值，
答：当售价50+20＝70元时能达到最大利润1600元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
23．（11分）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法．
已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，且∠EAF＝45°，
（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？


【答案】（1）证明见解析；
（2）EF＝DF﹣BE，证明见解析．
【分析】（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点E与点G对应到AD，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE．
【解答】（1）证明：如图1中，

由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠ABG＝∠ADF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABG＝180°，
∴G，B，C三点在一条直线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．

（2）解：结论：EF＝DF﹣BE，
理由：如图2中，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，点E与点G对应，
∴△ABE≌△ADG，
∴BE＝DG，

同（1）可证得△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．
24．（13分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点E为抛物线在第一象限上的一个点，连接BE，CE，求出△BCE的最大面积和点E的坐标．


【答案】（1）m＝2，顶点的坐标为（1，4）；
（2）P（1，2）；
（3），E（，）．
【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解；
（3）S△BCE＝×EH×OB，即可求解．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+8m+3，解得：m＝2，
则函数对称轴为：x＝﹣＝1，4）；
（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝7，令x＝0，
故点A、C的坐标分别为（﹣1、（6，
点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，
当x＝1时，y＝2，4）；
（3）过点E作MH∥y轴交BC于点H，

设点E（x，﹣x2+2x+8），则点H（x，
S△BCE＝EH×OB＝2+8x+3﹣3+x）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0△BCE有最大值最大值为，此时x＝，
故点E（，）．
【点评】本题考查的是函数与x轴的交点，涉及到最短路径、三角形的面积计算等，其中（2），S△BCE＝EH×OB是此类题目求解面积的基本方法．