人教版数学九年级上册专项培优练习一《二次函数面积问题》（2份打包，教师版+原卷版）

人教版数学九年级上册专项培优练习一

《二次函数面积问题》

一              、选择题

1.圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是(  )

A.S是R的正比例函数

B.S是R的一次函数

C.S是R的二次函数

D.以上答案都不对

【答案解析】答案为：C

2.正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为(    )

A.y＝x2＋9      B.y＝(x＋3)2           C.y＝x2＋6x       D.y＝9﹣3x2

【答案解析】答案为：C.

3.下列图形中阴影部分的面积相等的是(　　)

A.②③       B.③④       C.①②       D.①④

【答案解析】答案为：A.

4.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs.能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是(　　)

【答案解析】答案为：B

5.如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB 边上的一个动点，设AP＝x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为(       )

A.4                B.2              C.12              D.4

【答案解析】答案为：D

6.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为(      )

A.              B.              C.              D.

【答案解析】答案为：B

7.如图，将函数y=(x－2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式为(     ).

A.y=(x－2)2－2    B.y=(x－2)2+7      C.y=(x－2)2－5     D.y=(x－2)2+4

【答案解析】答案为：D.

8.如图，将抛物线C1：y=x2+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点为A，点P是抛物线C2上一点，则△POA的面积的最小值为(     )

A.3                           B.3.5                       C.4                           D.4.5

【答案解析】答案为：B

二              、填空题

9.如图，点E是抛物线y＝a(x﹣2)2＋k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点，连结AC、AB.若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是            .

【答案解析】答案为：2.

10.抛物线y＝x2﹣4x＋3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是       .

【答案解析】答案为：1

11.如图，抛物线y=﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E.把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF.则图中阴影部分图形的面积为　   　.

【答案解析】答案为：4.

12.如图，抛物线y1=x2﹣2向右平移一个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S=    .

【答案解析】答案为：2.

13.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B的中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C的中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为______.

【答案解析】答案为：32.

14.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2.现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1.

下列结论中，正确的是       (填序号).

①b＞0；

②a－b+c＜0；

③阴影部分的面积为4；

④若c=－1，则b2=4a.

【答案解析】答案为：③④.

三              、解答题

15.如图，抛物线y=－x2＋2x＋3与y轴交于点C，顶点为D.

(1)求顶点D的坐标；

(2)求△OCD的面积.

【答案解析】解：(1)y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，

即顶点D的坐标为(1，4).

(2)把x=0代入y=－x2＋2x＋3，得y=3，即OC=3，

S△OCD=×3×1=.

16.已知二次函数的图象经过点(0，3)，顶点坐标为(1，4)，

(1)求这个二次函数的解析式

(2)求图象与x轴交点A、B两点的坐标.

(3)图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积.

【答案解析】解：(1)求出解析式y=-(x-1)2+4.

(2)求出A(﹣1，0) 和B(3，0)；

(3)面积是6.

17.在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积；

(3)若直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.

【答案解析】解：(1)由题意解得,

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x＋2.

(2)∵y＝x2﹣x＋2＝(x﹣1)2＋.

∴顶点坐标(1,),

∵直线BC为y＝﹣x＋4,

∴对称轴与BC的交点H(1,3),

∴S△BDC＝S△BDH＋S△DHC＝••3＋••1＝3.

(3)由消去y得到x2﹣x＋4﹣2b＝0,

当△＝0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)＝0,∴b＝,

当直线y＝﹣x＋b经过点C时,b＝3,

当直线y＝﹣x＋b经过点B时,b＝5,

∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B.C)部分有两个交点,∴＜b≤3.

18.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式.

【答案解析】解：将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，过点D作DF⊥AC于点F，

则四边形AFDE是矩形.

∴AC＝AE＝DF＝4BC，AF＝DE＝BC，

∴CF＝AC﹣AF＝4BC﹣BC＝3BC.

∴在Rt△CDF中，

CD＝＝＝5BC＝x.

∴BC＝x.∴AE＝AC＝x，DE＝x.

∵S四边形ABCD＝S梯形ACDE＝(DE＋AC)×AE，∴y＝(x＋x)×x＝x2.

19.如图，二次函数y=ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0).

(1)求a，b的值.

(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.

【答案解析】解：(1)将点A(2，4)，B(6，0)的坐标分别代入y=ax2＋bx，

得解得

(2)如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，

垂足分别为E，F，连结AC，BC，CD.

则S△OAD=OD·AD=×2×4=4，

S△ACD=AD·CE=×4×(x－2)=2x－4，

S△BCD=BD·CF=×(6－2)×(－x2+3x)=－x2＋6x，

∴S=S△OAD＋S△ACD＋S△BCD=4＋2x－4－x2＋6x=－x2＋8x，

∴S关于x的函数表达式为S=－x2＋8x(2＜x＜6).

∵S=－x2＋8x=－(x－4)2＋16，

∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.

20.有一座横断面为抛物线形状的拱桥，其水面宽AB为18m，拱顶O离水面AB的距离OM为8m，货船在水面以上部分的横断面是矩形CDEF，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求此抛物线的二次函数表达式.

(2)如果限定矩形的长CD为9m，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥？

(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围.

【答案解析】解：（1）y=－x2.

（2）∵CD=9,∴点E的横坐标为4.5，则点E的纵坐标为－×()2=－2.

∴点E的坐标为（,－2）.

∴要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过8－2=6（m）.

（3）∵EF=a，∴点E坐标为（a,－ a2）

∴ED=8－│－a2∣=8－a2.

∴S矩形CDEF=EF·ED=8a－a3（0＜a＜18）.

21.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

【答案解析】解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=ax2＋bx＋c(a≠0)，

将A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点代入函数解析式得：

解得，

所以此函数解析式为：y=x2＋x﹣4；

(2)∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：(m，m2＋m﹣4)，∴S=S△AOM＋S△OBM﹣S△AOB

=×4×(﹣m2﹣m＋4)＋×4×(﹣m)﹣×4×4=﹣m2﹣4m=﹣(m＋2)2＋4，

∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4＋8=4．

答：m=﹣2时S有最大值S=4．

(3)设P(x，x2＋x﹣4)．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q(x，﹣x)．

由PQ=OB，得|﹣x﹣(x2＋x﹣4)|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．

如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．

四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为(4，﹣4)．

由此可得Q(﹣4，4)或(﹣2＋2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2＋2)或(4，﹣4)．

22.如图，抛物线y=ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B.

(1)求a，b的值.

(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为m，

△OBP的面积为S，记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.

【答案解析】解：(1)将x=2代入y=2x，得：y=4，

∴点M(2，4)，

由题意，得：，∴；

(2)如图，过点P作PH⊥x轴于点H，

∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2＋4x，

∴PH=﹣m2＋4m，

∵B(2，0)，

∴OB=2，

∴S=OB•PH=×2×(﹣m2＋4m)=﹣m2＋4m，

∴K==﹣m＋4，

由题意得A(4，0)，

∵M(2，4)，

∴2＜m＜4，

∵K随着m的增大而减小，

∴0＜K＜2.

23.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

【答案解析】解：(1)y=﹣x2＋2x＋3

(2)易求直线BC的解析式为y=﹣x＋3，

∴M(m，﹣m＋3)，

又∵MN⊥x轴，

∴N(m，﹣m2＋2m＋3)，

∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m(0＜m＜3)

(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=|MN|·|OB|，

∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，

MN=﹣m2＋3m=﹣(m﹣)2＋，

所以当m＝时，△BNC的面积最大为.