高考数学(理数)一轮复习学案1．2《命题及其关系、充分条件与必要条件》(含详解)

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1．2　命题及其关系、充分条件与必要条件


1．命题的概念
(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．
(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．
(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．
(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．
(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题间的相互关系
(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)

(2)真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．
3．充分条件和必要条件
(1)如果p⇒q，则称p是q的______，q是p的________________________．
(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．
(3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的________条件．
(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件．
(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

自查自纠：
1．(1)判断真假　判断为真　判断为假
(2)互逆命题　(3)互否命题　(4)互为逆否命题
(5)若q，则p　若綈p，则綈q 若綈q，则綈P
2．(1)


(2)①相同　②没有关系
3．(1)充分条件　必要条件
(2)p⇒q　q⇒p　充要条件　p⇔q
(3)充分不必要　(4)pq　q⇒p
(5)pq　qp


　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　
下列语句为命题的是 (　　)
A．对角线相等的四边形
B．a＜5
C．x2－x＋1＝0
D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形
解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D.
()设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的 (　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为＜，所以0＜x＜1.又因为x3＜1，所以x＜1.因为0＜x＜1⇒x＜1，但x＜10＜x＜1，所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件．故选A.
()设a，b均为单位向量，则 “|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的 (　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：|a－3b|＝|3a＋b|的两边平方得|a|2－6a·b＋9|b|2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2，所以8|a|2＋12a·b－8|b|2＝0，所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.因为|a|＝|b|＝1，所以3a·b＝0，所以a·b＝0，所以a⊥b.反之，步步可逆，故是充分必要条件．故选C.
()命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是__________．
解：原命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．故填若tanα≠1，则α≠.
已知集合M＝{x|1 解：a＝2时亦有M⊆N.故填充分不必要．



类型一　四种命题及其相互关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；
(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.
解：(1)因为当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题为假命题．
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.它为真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.它为真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.它为假命题．
(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC.
否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.
逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.
这里，四种命题都是真命题．
(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.
否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.
逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.
这里，四种命题都是真命题．

点　拨：
写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在题(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．题(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即 “－1≤x≤3”．

　写出下列命题的否定形式和否命题．
(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；
(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；
(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；
(4)有理数都能写成分数．
解：(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．
否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．
(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．
否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．
(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．
否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．
(4)否定形式：有理数不都能写成分数．
否命题：非有理数不都能写成分数．
类型二　充要条件的判定
　指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；
(2)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；
(3)非空集合A，B(A∩B＝∅)中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；
(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
解：(1)在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．
(2)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但qp，故p是q的充分不必要条件．
(3)显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．
(4)易知綈p：x+y=8，綈q：x=2且y=6，显然 綈q綈p，但綈p /⇒ ＝綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

点　拨：
充要条件的三种判断方法：①定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；②集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
　　
　(1)()若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：若a，b，c，d依次成等差数列，则有a＋d＝b＋c；反之，如2＋3＝1＋4，但2，1，4，3不成等差数列．所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．故选B.
(2)()设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的 (　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解：若an＝2n－10，则S4＜S3，所以非充分．若an＝，则{Sn}递增，此时{an}递减，所以非必要．故选D.
类型三　充要条件的应用
　(1)()已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 (　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解：由＜1，得－1＝＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2.由p是q的充分不必要条件知，k＞2.故选B.
(2)()已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．(－2，2)
解：由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，又x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则有AB，所以m＋1＞3，即m＞2.故选C.

点　拨：
①求解充要条件的应用问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误．

　(1)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪
解：由|4x－3|≤1得≤x≤1，由x2－(2a＋1)x＋ a(a＋1)＝(x－a)[x－(a＋1)]≤0得a≤x≤a＋1，
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件，有 或 得0≤a≤.故选A.
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以 P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，则所以0≤m≤3.故填[0，3]．

1．命题及其真假判断
(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．
(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．
2．四种命题间的相互关系及应用
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．
(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断．
3．“否命题”与“命题的否定”的区别
“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论．
4．充要条件的三种判断方法
(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p⇒q及q⇒p的真假；第三步，下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；
②若AB，则p是q的充分不必要条件；
③若B⊆A，则p是q的必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．

　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()命题“若a＞b，则 a＋c＞b＋c”的否命题是 (　　)
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c＞b＋c，则a＞b
D．若a＞b，则a＋c≤b＋c
解：“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，所以原命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.
2．()设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 (　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解：x＞yx＞|y|(如x＝1，y＝－2)．但x＞|y|时，必有x＞y.所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．故选C.
3．()下列说法中正确的是
(　　)
A．若α＞β，则sinα＞sinβ
B．命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x0≤1，x≤1”
C．命题“若x≤，则≥3”的逆命题是真命题
D．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
解：若α＝120°，β＝60°，则α＞β，sinα＝sinβ，故A错误；命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x0＞1，x≤1”，故B错误；命题“若x≤，则≥3”的逆命题是“若≥3，则x≤”，解≥3得1＜x≤，此时满足x≤，故C正确；“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故D错误．故选C.
4．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1， ＋∞)上为增函数”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：若“a＝1”，则函数f(x)＝|x－a|＝|x－1|在区间[1，＋∞)上为增函数；当a＝0时，f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上亦为增函数，所以“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A.
5．()下列说法中，正确的个数是 (　　)
①若f(x)＝＋a为奇函数，则a＝；
②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；
③“三个数a，b，c成等比数列”是“b＝”的既不充分也不必要条件；
④命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1＞0”．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：若f(x)＝＋a为奇函数，则f(0)＝0，解得a＝－，所以①不正确；在△ABC中，令角A，B的对边分别为a，b，由A＞B，可得a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，原命题的逆命题是真命题，所以②不正确；三个数a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以b＝±，若a＝b＝c＝0，则满足b＝，但三个数a，b，c不成等比数列，所以“三个数a，b，c成等比数列”是“b＝”的既不充分也不必要条件，所以③正确；命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1＞0”，所以④正确．故选C.
6．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：a－b>1，即a>b＋1.因为a，b为正数，所以a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立．反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．故选A.
7．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．
解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．故填若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数．
8．()已知p：x≤1＋m，q：|x－4|≤6.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解：由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，因为p是q的必要不充分条件，所以m＋1≥10，解得m≥9.故填{m|m≥9}．
9．写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0；(真)
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；(真)
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0.(真)．
10．若p：a∈R，a2<1，q：关于x的一元二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，判断p是q的什么条件？
解：一元二次方程的判别式Δ＞0，故其有两个不等实根．p：a∈R，a2＜1⇔－1＜a＜1⇒a－2＜0，可知方程的两根异号，故p是q的充分条件；显然p不是q的必要条件，如当a＝1时，方程的一个根大于零，另一根小于零．因此p是q的充分不必要条件．

11．()已知p：x2－3x－4≤0，q：x2－6x＋9－m2≤0，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：因为綈q是綈p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，所以{x|x2－3x－4≤0}{x|x2－6x＋9－m2≤0}，所以{x|－1≤x≤4}{x|(x＋m－3)(x－m－3)≤0}．
当－m＋3＝m＋3，即m＝0时，不合题意．
当－m＋3＞m＋3，即m＜0时，有{x|－1≤x≤4}{x|m＋3≤x≤－m＋3}，此时(两等号不能同时取得)，解得m≤－4.
当－m＋3＜m＋3，即m＞0时，有{x|－1≤x≤4}{x|－m＋3≤x≤m＋3}，此时(两等号不能同时取得)，解得m≥4.
综上，实数m的取值范围是{m|m≤－4或m≥4}．
()已知p：x，y∈R，x2＋y2<2，q：x，y∈R，|x|＋|y|<2，则p是q的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．必要充分条件 D．既不充分也不必要条件


解：如图所示：“x2＋y2<2”对应的图形为半径为的圆的内部，“|x|＋|y|<2”对应的图形为边长为2的正方形的内部．由图知，x2＋y2<2对应的图形在|x|＋|y|<2对应的图形的内部，故p是q的充分不必要条件．故选A.