高考数学(理数)一轮复习学案8．4《空间中的平行关系》(含详解)

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8．4　空间中的平行关系



1．空间中直线与平面之间的位置关系
(1)直线在平面内，则它们__________公共点．
(2)直线与平面相交，则它们______________公共点．
(3)直线与平面平行，则它们________公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为______________．
2．直线与平面平行的判定和性质
(1)直线与平面平行的判定定理
平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行．即线线平行⇒线面平行．用符号表示：____________________________．
(2)直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________．即线面平行⇒线线平行．用符号表示：__________________________．
3．平面与平面之间的位置关系
(1)两个平面平行，则它们______________．
(2)两个平面相交，则它们______________，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
4．平面与平面平行的判定和性质
(1)平面与平面平行的判定定理
①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：____________________________．
②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β⇒α∥β．
④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ⇒α∥β．
(2)平面与平面平行的性质定理
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________．即面面平行⇒线线平行．用符号表示：__________________________________．
②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：__________________．
③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：__________________．
自查自纠：
1．(1)有无数个　(2)有且只有一个　
(3)没有　直线在平面外
2．(1)一条直线　一条直线　a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
(2)交线　平行　a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
3．(1)没有公共点　(2)有一条公共直线
4．(1)①相交直线　a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
(2)①平行　α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
②α∥β，a⊂α⇒a∥β　③α∥β，l⊥α⇒l⊥β


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；
④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：如图，

在长方体ABCD­A′B′C′D′中，A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误；④显然正确．故选B．
若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解：因为直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交．观察各选项，易知A，C，D都是错误的．故选B．
()平面α∥平面β的一个充分条件是 (　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，可排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，可排除B；若α∩β＝l．a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，可排除C．故选D．
()已知平面α，β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．
从中任选两个条件，则能推导出m∥β的是____________．(填写编号)
解：若α∥β，则α内的任一条直线均平行于β，故由③⑤⇒m∥β．列举知其余任选的两个条件均不能推导出m∥β．故填③⑤．
如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)
　　　　　
① ②

③ ④
解：在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP．所以AB∥平面MNP．②④中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③．



类型一　线线平行
　()如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明．

解：在原正方体中EF∥GH．
证明如下：如图所示，

将展开图还原为正方体ABCD­A1B1C1D1，
则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，
连接B1D1，BD，则EF∥B1D1，GH∥BD．
又因为B1D1∥BD，所以EF∥GH．

点　拨：
证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．
　　
　如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．证明：EF∥B1C．

证明：由正方形的性质可知，A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D．又A1D⊂平面A1DE，B1C⊄平面A1DE，于是B1C∥平面A1DE．又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．
类型二　线面平行
　　
　()在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：

(1)FM∥平面ADE；
(2)平面ACD⊥平面ADE．
证明：(1)取BE的中点N，连接MN，FN，因为F，M，N分别为AB，CD，BE的中点，所以MN∥DE，FN∥AE．

又因为AE，DE⊂平面ADE，FN，MN⊄平面ADE，
所以MN∥平面ADE，FN∥平面ADE．
又MN∩FN＝N，所以平面ADE∥平面FMN．
又FM⊂平面FMN，所以FM∥平面ADE．
(2)因为四边形DCBE为矩形，所以BC⊥DC．
又AC⊥BC，AC∩DC＝C，所以BC⊥平面ACD．
又因为BC∥DE，所以DE⊥平面ACD．
因为DE⊂平面ADE，所以平面ACD⊥平面ADE．

点　拨：
要证明直线和平面平行，通常有两种方法：①利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；②由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第一种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行．第二种方法常用于非特殊位置的情形．
　　
　()如图， △ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB＝2，BC＝1，设∠EAB＝θ，且tanθ＝，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．

(1)求三棱锥C­ABE的体积；
(2)在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．
解：(1)因为四边形DCBE为平行四边形，所以CD∥BE．
因为DC⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC．
因为AB⊂平面ABC，所以BE⊥AB．
在Rt△ABE中，由tanθ＝＝，AB＝2，得BE＝．
因为AB是圆O的直径，
所以BC⊥AC，所以AC＝＝．
所以S△ABC＝AC·BC＝，
所以VC­ABE＝VE­ABC＝S△ABC·BE＝××＝．
(2)在CD上存在点M，使得MO∥平面ADE，且点M为DC的中点．
证明如下：如图，取BE的中点N，连接MO，MN，NO．

因为M，N，O分别为CD，BE，AB的中点，所以MN∥DE．
因为DE⊂平面ADE，MN⊄平面ADE，所以MN∥平面ADE．
同理可得，NO∥平面ADE．
因为MN∩NO＝N，所以平面MNO∥平面ADE．
因为MO⊂平面MNO，所以MO∥平面ADE．
类型三　面面平行
　()已知四棱锥S­ABCD的各条棱长都相等，

且点E，F分别是SB，SD的中点．
(1)求证：AC⊥SB；
(2)在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：设AC∩BD＝O，则O为底面正方形ABCD的中心，连接SO，
因为S­ABCD为正四棱锥，
所以SO⊥平面ABCD，所以SO⊥AC．
又BD⊥AC，且SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD．
因为SB⊂平面SBD，故AC⊥SB．
(2)存在点M，设SO∩EF＝G，则G是SO的中点，连接AG，并延长AG交SC于点N．
过点O作AN的平行线，与SC的交点即为M．

所以OM∥AN，即OM∥AG，
又EF∥BD，OM，BD⊄平面AEF，AG，EF⊂平面AEF，
所以OM∥平面AEF，BD∥平面AEF，
又OM∩BD＝O，
所以平面MBD∥平面AEF．
在△SOM中，GN∥OM，因为G是OS的中点，则N是SM中点．同理，M是CN中点，所以＝2．

点　拨：
判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．面面平行的性质定理：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．
　　
　()已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，

E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F，求证：
(1)EF∥平面ABCD；
(2)平面AD1C∥平面A1BC1．
证明：(1)证法一：如图，过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN，分别交AB，BC于点M，N，

连接EF，MN．
因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以EM∥BB1∥FN．
又因为AB1＝BC1，B1E＝C1F，
所以AE＝BF．
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
所以Rt△AME≌Rt△BNF．所以EM＝FN．
所以四边形MNFE是平行四边形，所以EF∥MN．
又MN⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EP∥AB交BB1于点P，连接PF，
所以＝．
因为B1E＝C1F，B1A＝C1B，所以＝．
所以FP∥B1C1∥BC．
又因为EP∩FP＝P，AB∩BC＝B，
所以平面EFP∥平面ABCD．
又EF⊂平面EFP，所以EF∥平面ABCD．

(2)如图，连接A1B，D1C，AD1，由已知AD1∥BC1，CD1∥A1B．又AD1∩CD1＝D1，BC1∩BA1＝B，所以平面AD1C∥平面A1BC1．亦可连接B1D，由B1D⊥平面ACD1，B1D⊥平面A1C1B证明结论．



1．证明线线平行的方法
(1)利用平面几何知识．
(2)平行公理：a∥b，b∥c⇒a∥c．
(3)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b．
(5)线面垂直的性质定理：m⊥α，n⊥α⇒m∥n．
2．证明直线和平面平行的方法
(1)利用定义(常用反证法)．
(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α．
(3)利用面面平行的性质：α∥β，l⊂α⇒l∥β．
(4)向量法．m⊄α，n⊥α，m⊥n⇒m∥α．
(5)空间平行关系的传递性：m∥n，m，n⊄α，m∥α⇒n∥α．
(6)α⊥β，l⊥β，l⊄α⇒l∥α．
3．证明面面平行的方法
(1)利用定义(常用反证法)．
(2)利用判定定理：a，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β．
推论：a，b⊂β，m，n⊂α，a∩b＝P，m∩n＝Q，a∥m，b∥n(或a∥n，b∥m)⇒α∥β．
(3)利用面面平行的传递性：⇒α∥γ．
(4)利用线面垂直的性质：⇒α∥β．
4．找(或作)辅助线或平面
(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加．
(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断．
5．注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化
线线平行线面平行面面平行．
应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：
“线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”；
应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：
“面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是 (　　)
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
解：由线面垂直的性质可知A正确；由面面平行的性质可知B正确；m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α，β可能平行，也可能相交．故C错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知D正确．故选C．
2．()已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，若α∥β，则m∥β，所以“α∥β”是“m∥β”的充分条件；但m∥β不能推出α∥β，故不是必要条件．所以“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．故选A．
3．()已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是 (　　)
A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
B．若m⊂α，α∥β，则m∥β
C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α
D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
解：两个平行平面中的两条直线可能异面，A错误；两个平行平面中任一个平面内的直线都与另一个平面平行，B正确；选项C中直线n也可能在平面α内，C错误；任一个二面角的平面角的两条边与二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D错误．故选B．
4．()已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β．
其中真命题的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①符合面面垂直的判定定理，正确；②只有m，n相交时成立，错误；③n与α相交或平行，故不成立；④符合直线与平面平行的判定定理，正确．故选B．
5．()已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由线面平行的判定定理可得m⊄α，n⊂α，m∥n可推出m∥α；由m∥α，n⊂α得m和n平行或异面，所以由m∥α推不出m∥n，所以“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．
6．()平面α过正方体ABCD ­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为 (　　)
A． B． C． D．

解：因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l．因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1．同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1．故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为．故选A．
7．()已知下列命题：
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b．
上述命题正确的是____________．
解：①若直线与平面有两个公共点，由公理1可得直线在平面内，故①对；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②错；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的直线可能是异面直线或相交直线，故③错；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故④错；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故⑤对；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故⑥错．故填①⑤．

8．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：

①PR与BQ是异面直线；
②RQ⊥平面BCC1B1；
③平面PQR∥平面D1AC；
④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形．
以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)
解：由于PR是△A1BC1的中位线，所以PR∥BQ，故①不正确；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正确；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正确；由于△A1BC1是边长为的正三角形，所以④正确．故填③④．
9．()如图所示，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：

(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H．
证明：(1)如图所示，取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，

又EG⊄平面BB1D1D，OB⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．
(2)由题意可知BD∥B1D1．
如图，连接HB，D1F，易证HD1∥BF．
又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H．

10．()已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．求证：平面BEF∥平面AD1C1．
证明：取AD的中点G，连接BG，FG，
因为E，F分别为CC1，DD1的中点，

所以C1D1∥CD∥EF，
因为C1D1⊂平面AD1C1，EF⊄平面AD1C1，
所以 EF∥平面AD1C1．
因为AD∥BC，AD＝2BC，所以GD綊BC，即四边形BCDG是平行四边形，
所以BG綊DC，所以BG綊EF，即四边形EFGB是平行四边形，
所以平面BEF即平面EFGB．
因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FG∥AD1．
因为AD1⊂平面AD1C1，FG⊄平面AD1C1，
所以FG∥平面AD1C1．
又FG⊂平面BEF，FE⊂平面BEF，FG∩EF＝F，
所以平面BEF∥平面AD1C1．
11．()如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．

(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解：(1)当＝1时，满足题意．
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1．

由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，则点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，因为O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1．
又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1．
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1．
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O．
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1．
所以＝，＝．
又＝1，所以＝1，即＝1．
()如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE

所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB．
(1)求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；
(2)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．
解：(1)因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE，
则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角．
设BC＝a，则AB＝2a，BE＝a，
所以CE＝a．
所以cos∠CEB＝＝，
即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为．
(2)存在点F，且＝时，有EC∥平面FBD．

证明如下：
连接AC交BD于点M，在AE上取点F，使 ＝，连接MF，BF，DF．
因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以＝＝，所以＝．
因为＝，所以FM∥EC．
又EC⊄平面FBD，FM⊂平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即点F满足＝时，有EC∥平面FBD．