高考数学(理数)一轮复习学案1．1《集合及其运算》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案1．1《集合及其运算》(含详解)，共8页。
1．1　集合及其运算


1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．
(2)集合中元素的三个特性：______，______，__________.
(3)集合常用的表示方法：________和________．
2．常用数集的符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号






3.元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．
(2)集合与集合之间的关系
　 表示
关系　　
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
__________⇔
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
________或________
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
________或________
空集
空集是任何集合的子集，是任何______的真子集
∅⊆A，∅B
(B≠∅)
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．
4．两个集合A与B之间的运算


集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示


若全集为U，则集合A的补集记为________
韦恩(Venn)图表示(阴影部分)



意义



5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B________A； ②A∩B________B；
③A∩A＝________； ④A∩∅＝________；
⑤A∩B________B∩A.
(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；
③A∪A＝________； ④A∪∅＝________；
⑤A∪B________B∪A.
(3)①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________；
③∁U∅＝________； ④A∩(∁UA)＝________；
⑤A∪(∁UA)＝________.
(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；
②A∩B＝A∪B⇔____________.
(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：
card(A∪B)＝____________________________；
card[∁U(A∪B)]＝________________________.

自查自纠：
1．(1)元素　集合　(2)确定性　互异性　无序性
(3)列举法　描述法
2．N　N*(N＋)　Z　Q　R　C
3．(1)属于　a∈A　不属于　a∉A
(2)A⊆B且B⊆A　A⊆B　B⊇A　AB　BA
非空集合　2n　2n－1　2n－2
4．A∪B　A∩B　∁UA　{x|x∈A或x∈B}　
{x|x∈A且x∈B}　{x|x∈U且x∉A}
5．(1)①⊆　②⊆　③A　④∅　⑤＝
(2)①⊇　②⊇　③A　④A　⑤＝
(3)①A　②∅　③U　④∅　⑤U
(4)①A⊆B　②A＝B
(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)



()已知集合A＝{0，2}，B＝ {－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝ (　　)
A．{0，2} B．{1，2}
C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}
解：由题意知A∩B＝{0，2}．故选A.
()已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝ (　　)
A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解：由x2－x－2＞0得(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2，所以A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以 ∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
()设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝(　　)
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.
()已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．


解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.
()设集合A＝{1，2，6}， B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝________．
解：集合A∪B＝{1，2，4，6}，则(A∪B)∩ C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．

类型一　集合及相关概念
　(1)()已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为
(　　)
A．9 B．8 C．5 D．4

解法一：集合A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．
解法二：A表示由圆x2＋y2＝3内部及边界上所有整数点构成的集合．如图，则圆内部共有9个满足题意的点．故选A.
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则实数a＝ (　　)
A. B. C．0 D．0或
解：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－ 3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，所以a的取值为0或.故选D.

点　拨：
题(1)要注意x，y的约束条件．题(2)集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
　　
　(1)设集合A＝{1，3，a}，B＝{1， a2－a＋1}，且B⊆A，则a的值为________．
解：因为B⊆A，所以a2－a＋1∈A，所以a2－ a＋1＝3或a2－a＋1＝a.由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；由a2－a＋1＝a，得a＝1.经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．故 a＝－1或a＝2.故填－1或2.
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．
解：由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝不合题意，舍去；
当a≠0时，Δ＝9＋8a0}＝(1， ＋∞)，所以A∪B＝R.故选B.
(2)()已知A＝{y|y＝x，0≤x≤1}，B＝{y|y＝kx＋1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围为 (　　)
A．{－1} B．{k|k＜－1}
C．{k|－1≤k≤0} D．{k|k≤－1}
解：由已知可得A＝{y|y＝x，0≤x≤1}＝[0，1]，易知k≠0，当k＞0时，B＝[1，1＋k]；当k＜0时，B＝[1＋k，1]．由A⊆B知，当k＞0时不合题意，则1＋k≤0，即k≤－1.故选D.
类型三　集合的运算
　(1)()已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝ (　　)
A．∅ B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
解：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C.
(2)集合P＝{x∈R||x－1|