专题10 对数与对数函数-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【题型归纳目录】
题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
题型二：对数函数的图像
题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））
题型四：对数函数中的恒成立问题
题型五：对数函数的综合问题
【典例例题】
题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：；
（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．
例4．（2022·全国·模拟预测）若，，则（ ）
A．a＋b＝100B．b－a＝e
C．D．
例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数，满足，，，，，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数则不等式的解集为______．
例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数满足：（1），且，都有；（2），则___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）
例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
【方法技巧与总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
题型二：对数函数的图像
例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．
（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．，B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数D．当时，
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.
【方法技巧与总结】
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））
例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（ ）
A．0B．1
C．2D．a
例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
题型四：对数函数中的恒成立问题
例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，已知实数，若在上恒成立，求实数a的取值范围.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值与最小值之和为．
（1）求实数的值；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数.
(1)若，求a的值；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
例25．（2022·上海·高三专题练习）已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
题型五：对数函数的综合问题
例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
例27．（2022·四川雅安·三模（文））设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
例29．（2022·河北保定·二模）已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（ ）
A．B．C．D．
例30．（2022·广东·三模）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知是函数的零点，则_______．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据，）（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知，，其中且，且，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
5．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象恒过定点
A．（2，2）B．（2，1）C．（3，2）D．（2，0）
6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．的最小值是
D．的最小值是
10．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当时，，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2022·天津·二模）已知，则的最小值为__________.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__________．
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若，则实数a的取值范围为___________.
16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，．给出以下4个结论：
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数是以2为周期的周期函数；
③当时，；
④函数在上单调递减．
其中所有正确结论的序号为______．
四、解答题
17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，设，函数的定义域为[m，n] (m