专题33 直线的方程-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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知识点一：直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
3．求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
【题型归纳目录】
题型一：倾斜角与斜率的计算
题型二：三点共线问题
题型三：过定点的直线与线段相交问题
题型四：直线的方程
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
题型六：两直线的夹角问题
题型七：直线过定点问题
题型八：轨迹方程
题型九：中点公式
【典例例题】
题型一：倾斜角与斜率的计算
例1．（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
例2．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A．B．C．D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若一次函数所表示直线的倾斜角为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
例6．（2022·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．
例11．（2022·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.
【方法技巧与总结】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
题型二：三点共线问题
例12．（2022·全国·高三专题练习）若三点共线，则a的值为_________．
例13．（2022·全国·高三专题练习）若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·北京·高三期末）已知、、三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
例15．（2022·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
例19．（2022·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
【方法技巧与总结】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型四：直线的方程
例21．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两点的直线都可以用方程表示；
③不经过原点的直线都可以用方程表示；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
例22．（2022·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）过两点和的直线在y轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
例28．（2022·全国·高三专题练习）过点且与两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
例29．（2022·北京西城·高三阶段练习（理））已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．
例30．（2022·全国·高三专题练习）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例31．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例32．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
例33．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
例35．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
例38．（2022·江苏·高二专题练习）已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．
(1)试用k来表示点M和N的坐标；
(2)求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；
(3)当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．
例39．（2022·湖北孝感·高二期中）已知直线的方程为点的坐标为.
(1)证明：直线一定经过第一象限；
(2)设直线与轴､轴分别交于，两点，当点到直线的距离取得最大值时，求的面积.
例40．（2022·全国·高二专题练习）设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
例41．（2022·江苏·高二专题练习）直线，相交于点，其中.
（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）问为何值时，最大？
例42．（2022·江苏·苏州中学高二期中）已知，为实数，过原点分别作直线，的垂线，垂足分别为， .
（1）若，且直线与轴、轴交于,两点，当面积最小时，求实数的值；
（2）若直线过点，设直线与的交点为，求证：点在一条直线上.
例43．（2022·江苏·高二课时练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
例44．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若直线与x，y轴分别交于A，B两点且斜率为负，O为坐标原点，求的最小值.
例45．（2022·全国·高二）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
例46．（2022·浙江·绍兴一中高二期中）如图，过点的直线l交x轴，y轴正半轴于A､B两点，求使：
(1)面积最小时l的方程；
(2)最小时l的方程.
例47．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
例48．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【方法技巧与总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型六：两直线的夹角问题
例49．（2022·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________．
例50．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________.
例51．（2022·上海·高三专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．
例52．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．2
例53．（2022·全国·高三专题练习（文））若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（ ）
A．或2B．或3C．或4D．或5
【方法技巧与总结】
若直线与直线的夹角为，则.
题型七：直线过定点问题
例54．（2022·浙江·高三专题练习）直线经过的定点坐标是______．
例55．（2022·上海市中国中学高三期中）动直线，恒过的定点是________
例56．（2022·浙江·高三专题练习）已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．
例57．（2022·上海·高三专题练习）对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________．
例58．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
例59．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量，，且.若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
合并参数
题型八：轨迹方程
例60．（2022·全国·高三专题练习）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程
例61．（2022·全国·高三专题练习）过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.
例62．（2022·全国·高三专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
例63．（2022·全国·高三专题练习）直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．
例64．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．
【解析】由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
例65．（2022·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
题型九：中点公式
例66．（2022·全国·高三专题练习（理））过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
例67．（2022·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
例68．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【方法技巧与总结】
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
2．（2022·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
3．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．-2
4．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
6．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，集合，，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．且且
8．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．5D．10
二、多选题
9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）设直线系：，则下面四个命题正确的是（ ）
A．直线系中包含倾斜角为和的直线
B．点到直线系中的所有直线的距离恒为定值
C．直线系中能构成三角形的任意三条直线所围成的三角形面积都相等
D．存在点不在直线系中的任意一条直线上
10．（2022·江苏·高三阶段练习）已知两点，，曲线C上存在点P满足，则曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·重庆·模拟预测）已知直线的方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．当变化时，直线始终经过第二、第三象限
B．当变化时，直线恒过一个定点
C．当变化时，直线始终与抛物线相切
D．当在内变化时，直线可取遍第一象限内所有点
12．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）以下命题正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则其斜率为
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．若点在线段（）上运动，则的最大值为
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
15．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）直线：与直线：夹角的正切值为______．
16．（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围.
19．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
20．（2022·全国·高三专题练习）根据所给条件求直线的方程：
（1）过点P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线的交点为.
（1）若直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线过点且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，的面积为，求直线的方程．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，求的最大值.
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用