专题12 函数与方程-2023年新高考数学大二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【方法技巧与总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
【题型归纳目录】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
题型四：嵌套函数的零点问题
题型五：函数的对称问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
题型七：唯一零点求值问题
题型八：分段函数的零点问题
题型九：零点嵌套问题
题型十：等高线问题
题型十一：二分法
【典例例题】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（）
A．B．
C．D．
例2．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数，则的所有零点之和为（）
A．B．C．D．
例3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）
A．B．C．D．
例4．（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（）
A．B．C．D．
例5．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（）
A．B．C．D．
例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）
A．0或B．0C．D．0或
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知是函数的零点，则_______．
例8．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
例9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
例10．（2022·浙江·高三专题练习）设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（）
A．或B．
C．1D．
例11．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（）
A．B．C．D．
例12．（2022·浙江省浦江中学高三期末）已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（）
A．，B．，
C．，D．，
例13．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例14．（2022·新疆·三模（理））函数的零点个数为___________.
例15．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：
（1）若，则有两个零点；
（2），使得有一个零点；
（3），使得有三个零点；
（4），使得有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
例17．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
例18．（2022·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）．
A．B．C．D．
例19．（2022·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
例20．（2022·江西省抚州市第一中学高二月考（理））若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
题型四：嵌套函数的零点问题
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）
A．B．或C．或D．或或
例22．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（）
A．B．C．D．
例23．（2022·河南·高三月考（文））已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
例24．（2022·安徽·马鞍山二中高二期末（文））已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
例25．（2022·云南保山·高二期末（文））定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（）
A．12B．16C．20D．24
【方法技巧与总结】
1.涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2.二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型五：函数的对称问题
例26．（2022·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
例27．（2022·内蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例28．（2022·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
例29．（2022·浙江·高三专题练习）若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【方法技巧与总结】
转化为零点问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
例30．（2022·浙江奉化·高二期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
例31．（2022·天津·耀华中学高二期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
例32．（2022·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
例33．（2022·天津·南开中学高三）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
题型七：唯一零点求值问题
例34．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数有唯一零点，则（）
A．B．C．D．
例35．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（）
A．B．C．D．
例36．（2022·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（）
A．或B．1或C．或2D．或1
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（）
A．B．C．D．1
例38．（2022·云南师大附中高三月考（理））已知函数有唯一零点，则（）
A．1B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
题型八：分段函数的零点问题
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
例40．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（）．
A．B．C．D．
例41．（2022·全国全国·模拟预测（理））已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
例42．（2022·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型九：零点嵌套问题
例43．（2022·湖北武汉·高二月考）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（）
A．1B．C．D．
例44．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（）
A．B．C．D．
例45．（2022·吉林·白城一中高三期末（理））已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（）
A．B．C．D．1
例46．（2022·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（）
A．B．C．-1D．1
【方法技巧与总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
题型十：等高线问题
例47．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（）
A．B．C．D．
例48．（2021·江苏省天一中学高三月考）已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
例49．（2021·浙江·高一单元测试）已知函数，其中，若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
例50．（2021·四川省新津中学高一开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
例51．（2021·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）
A．B．C．D．
题型十一：二分法
例52．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
例53．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）
A．6B．7C．8D．9
例54．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
例55．（2022·全国·高三专题练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（）个零点
A．4B．5C．6D．7
2．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（）
A．0B．2C．4D．6
4．（2022·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（）
A．B．
C．D．
5．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（）
A．B．C．D．
6．（2022·天津·高三专题练习）设函数有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
7．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知定义在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意；③当时，；若过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则直线的斜率的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三阶段练习）函数的零点个数为（）．
A．B．C．D．
9．（2022·四川·高三阶段练习（文））已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
11．（2022·湖南·模拟预测）已知，则的解集是（）
A． B．或
C．或 D．或
二、多选题
12．（2022·辽宁·三模）已知函数为定义在R上的单调函数，且.若函数有3个零点，则a的取值可能为（）
A．2B．C．3D．
13．（2022·广东·高三阶段练习）设函数，则下列命题中正确的是（）
A．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
B．若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
C．若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
D．方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
14．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知为常数，函数，若函数恰有四个零点，则实数的值可以是（）
A．B．C．D．
15．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（）
A．B．C．D．
16．（2022·河北保定·一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.
A．B．
C．D．
17．（2022·山东枣庄·高三期末）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（）．
A．B．C．4D．6
三、填空题
18．（2022·新疆·三模（文））函数的零点个数为_________．
19．（2022·北京昌平·二模）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
20．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
21．（2022·云南·高三阶段练习（理））函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数m的取值范围是_________．
22．（2022·北京·模拟预测）已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
23．（2022·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
24．（2022·四川·石室中学三模（文））若函数的图象关于直线对称，且直线与函数的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099