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专题35 圆的方程-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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这是一份专题35 圆的方程-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题35圆的方程解析版docx、专题35圆的方程原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
专题35 圆的方程
【考点预测】
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
【题型归纳目录】
题型一：求圆多种方程的形式
题型二：直线系方程和圆系方程
题型三：与圆有关的轨迹问题
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
题型五：点与圆的位置关系判断
题型六：数形结合思想的应用
题型七：与圆有关的对称问题
题型八：圆过定点问题
【典型例题】
题型一：求圆多种方程的形式
例1．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设圆的标准方程为，
则圆心到直线的距离为，
又由圆被直线截得的弦长为，
可得，化简得，解得，
即圆的方程为．
故选：D．
例2．过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
例3．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
例4．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆心为，半径为，
则，
解得，所以圆心为，
半径．
所以圆的方程为．
例5．已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以圆C的方程为，
故选：C．
例6．直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直线截距式方程知：，，
所以中点坐标为，且，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
化为一般方程为．
故选：A．
例7．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为．
故选：A
例8．过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知O、A、B、P四点共圆，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为．
故选：A．
例9．已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________．
【答案】（1，3）
【解析】设圆的方程为，
则，解得，
所以圆方程为，即，
所以圆心坐标为．
故答案为：．
例10．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
【答案】
【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，
所以可设圆心为，半径为，
由题意知，，
又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，
，
所以，
解得，，
所以所求圆C的方程为．
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例11．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
【答案】
【解析】
设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例12．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为．
（2）设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
例13．已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
【解析】若是圆、圆的交点坐标，则且，
所以必在上，
又，
所以，则在时，方程表示圆，
综上，对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
例14．已知圆和圆．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．
【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．
（2）设过两圆交点的圆的方程为．
把点代入，求得．
故所求圆的方程为，
即．
【方法技巧与总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例15．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
【答案】
【解析】，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
例16．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
例17．若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
【答案】C
【解析】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则到直线
的距离为，
所以，解得，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线垂直平分线段，
所以到直线的距离
即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，
因此，
即，故C正确，D错误；
故选：C
例18．已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦．又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为相减，即．又，所以，代入有，化简得．当时，；当时，均满足方程．
又当时，不满足题意．
综上有点的轨迹方程为
故选：B
例19．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆即，半径
因为，所以
又是的中点，所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
例20．（多选题）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（ ）
A．定点
B．定点
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A选项，直线过定点，A错；
对于B选项，直线的方程可化为，
由可得，故定点，B对；
对于C选项，，所以，，所以，，
线段的中点为，且，所以，，
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
所以，点的轨迹方程为，即，C对；
对于D选项，设点，，，
所以，，
所以，，
记点，则，
因为且，
所以，，
所以，，当且仅当、、三点共线且点在线段上时，
等号成立，故的最大值为，D错．
故选：BC．
例21．（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】设点C的坐标为 则
对于A：由得，即，故A错误；
对于B：由得，整理得，即，故B正确；
对于C：由得，即，故C正确；
对于D：由得，即，故D正确；
故选：BCD
例22．在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
例23．已知圆C过点，，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程．
【解析】（1）设圆的方程为
把点，，代入得：
解得：
所以圆的方程为：，化为标准方程为：
（2）联立，解得：
所以
设弦的中点M的坐标为
由垂径定理得：，即，则
由第一问知，圆心坐标为
所以，整理得：
故中点M的轨迹方程为
例24．已知圆，平面上一动点P满足：且，．
求动点P的轨迹方程；
【解析】设，则，
整理得：．
例25．已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【解析】选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C（0，0）时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：（且）．
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：．
例26．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【解析】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．
例27．设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程；
【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得：点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，整理得：，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
例28．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【解析】（1）由，
令，解得或；令，得，
所以圆过．
设圆的方程为，
，解得，
所以圆的方程为．
（2）设，则，
将的坐标代入圆的方程得，
即．
【方法技巧与总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例29．若方程表示圆，则的取值范围为________．
【答案】或
【解析】由圆的一般方程写出标准方程，
，
即
由，可得或．
故答案为：或
例30．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件．
故选：B．
例31．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
例32．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则．
故选：A
例33．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【解析】由曲线，可得，
即，为圆心为，半径为7的半圆，
又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，
依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，
由，得，
设，则，，
∴．
故选：D．
例34．“”是“方程是圆的方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示圆，则，
即，解得或，
故 “”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件，
故选：A
例35．已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，解得，或．
故选：A．
例36．方程表示的曲线为（ ）
A．两条线段 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆
【答案】C
【解析】，
则或，
又其表示线段
其表示半圆，
故选：C．
例37．已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（ ）
A．（－2，－4） B．
C．（－2，－4）或 D．不确定
【答案】A
【解析】
根据圆的一般式方程中平方项系数相等且非零，得到参数a值，再代入验证是否表示圆，即得结果．
【详解】
∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴，解得或．
当时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得标准式方程（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4），半径为5；
当时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圆．
故选：A．
【方法技巧与总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例38．已知直线过点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可得点在单位圆上，
所以直线和圆有公共点．
所以圆心到直线的距离，即得到．
故选：D
例39．已知点在圆的内部，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为点在圆的内部，则，
解得．
故选：D．
【方法技巧与总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例40．（多选题）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
【答案】AC
【解析】曲线：如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，故A正确；
对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误．
故选：AC
例41．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．
【答案】或．
【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；
（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知．
故答案为：或．
例42．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________．
【答案】或或
【解析】
设，
它表示圆心在原点的单位圆的上半圆，包括点．
设，它表示过定点，斜率为的直线，
由题得，
如图，当直线斜率为零时，直线和半圆只有一个交点，满足题意，此时；
当直线在和之间的区域运动时直线和半圆只有一个交点，满足题意，此时或．
故答案为：或或．
例43．已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由，解得，
又关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点．
易得等价于，
画出和的图象，设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，，
结合图象可知，当时，
函数的图像和的图象有两个交点．
故答案为：．
例44．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，可得；
当时，只需直线与圆相切，可得．
故k的取值范围是．
故答案为：
例45．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；
当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；
故选：C
例46．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，
由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为．
故选：D．
【方法技巧与总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例47．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别是（ ）
A．， B．，4
C．， D．，4
【答案】D
【解析】由题意得与垂直，
且直线过圆心，
所以，解得．
故选：D．
例48．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
例49．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9．
故选：B．
例50．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
例51．若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．
【答案】4
【解析】圆的圆心为，
因为圆关于直线和直线都对称，
所以圆心在直线上，也在直线上，
所以，
解得，
所以，
故答案为：4
【方法技巧与总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例52．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、．
故选：D．
例53．一动圆的圆心在抛物线上，且该动圆恒与直线相切，则动圆必经过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为
根据抛物线的定义可知抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等，
所以可知该动圆必过抛物线的焦点
故选：A
例54．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】D
【解析】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确．
故选：D
例55．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为．
（I）求实数的取值范围；
（II）求圆的一般方程；
（III）圆是否经过某个定点（其坐标与无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（I）令得抛物线与轴交点是；
令，
由题意，且，
解得，且．
（II）设所求圆的一般方程为，
令得，，
这与是同一个方程，
故，．
令得，，
此方程有一个根为，
代入得出，
所以圆的一般方程为：．
（III）圆过定点和．
证明如下：
圆的方程改写为，
于是有，
解得或，
故过定点和．
例56．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标．
【解析】将原方程整理得，
即，
方程表示圆心在，半径为的圆，
将原方程整理为关于k的方程：，
由
解得
即圆过定点．
【方法技巧与总结】
特殊值法
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，当且仅当，即时“=”，
所以的最小值为．
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，
故选：D
3．（2022·北京市第十二中学三模）已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
【答案】D
【解析】由，所以圆心坐标为，
因为直线2x＋y－3＝0的斜率为，
所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，
所以l的方程为：，
故选：D
4．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】关于x，y的方程表示圆等价于，即，
显然由可推出，反之由不能的到（可能是）
故是的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设外接圆的方程为：，
由题意可得：，解得：，
即的外接圆的方程为：．
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由集合A的描述知：且，
∴以原点为圆心为半径的圆（含圆上），满足条件的非负整数点有，即集合中元素的个数为
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线整理可得，，即直线恒过，
同理可得，直线恒过，
又，
直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，
圆心距，
两圆相离，
，
的取值范围是．
故选：B．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于，两点，若，则的值为（ ）
A．或0 B．或4 C．0或4 D．或2
【答案】A
【解析】由，得，
则圆心为，半径为2，
由，得，
即圆心到直线的距离为，
即，即或．
故选：A．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】ABC
【解析】设点，则，则，其中．
当时，则方程为，此时点的轨迹是圆的一部分；
当且时，动点的轨迹是椭圆的一部分；
当时，动点的轨迹是双曲线的一部分．
故选：ABC．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．圆的半径为5
C．圆被轴截得的弦长为6 D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】BD
【解析】因为，
所以圆的圆心为，半径为，故A错误，B正确．
对选项C，圆心到轴的距离为，
所以圆被轴截得的弦长为，故C错误；
对选项D，圆心到轴的距离为，
所以圆被轴截得的弦长为，故D正确．
故选：BD
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段，弧长比为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意，可设圆心为，半径为，如图所示：
根据圆被轴分成两段弧长之比为，
可得圆被轴截得的弦对的圆心角为，
所以，解得，
所以半径，
所以圆的方程为．
故选：AB．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】设圆心为，半径为，
圆被轴分成两部分的弧长之比为，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，
又圆被轴截得的弦长为4，∴，
∴，变形为，即在双曲线上，
易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有距离最小．
设切线方程为，
由，消法得，
∴，解得，
时，，时，，
即切点为或，半径为，
∴圆的方程为或．
故选：AB
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________．
【答案】
【解析】由题知，圆心为，到直线的距离为，
因为圆心为，且截直线所得弦长为，
所以，圆的半径为，
所以，所求圆的方程为．
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线上的点P，则周长最小的圆C的方程是________________．
【答案】
【解析】圆C的周长最小即半径最小，又因为圆C过直线上的点P，当圆C与直线相切时周长最小，此时圆C半径为，圆C的方程是．
故答案为：．
15．（2022·全国·高三专题练习（理））若不同的四点A（5，0），B（－1，0），C（－3，3），D（a，3）共圆，则a的值为________．
【答案】7
【解析】
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别代入A，B，C三点坐标，由求解．
【详解】
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别代入A，B，C三点坐标，
得，
解得，
所以A，B，C三点确定的圆的方程为：
x2＋y2－4x－y－5＝0．
因为D（a，3）也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0．
解得a＝7或a＝－3（舍去）．即a的值为7．
故答案为：7
16．（2022·上海·模拟预测）设直线系，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【解析】由直线系，
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确；
因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确；
由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确；
中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确．
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．
四、解答题
17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程
【解析】（1）设圆心的坐标为C（a，－2a），
则＝．
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
所以C点坐标为（1，－2），
半径r＝|AC|＝＝．
故圆C的方程为．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx，
由题意得，解得，
∴直线l的方程为，即3x+4y=0．
综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C经过点，圆C的圆心在圆的内部，且直线被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线与圆C交于A1，A2两点，求．
【解析】（1）由题意，圆C的圆心在圆，可得圆心C在线段AB的中垂线上，
可设，圆C的半径为，
因为直线被圆C所截得的弦长为，且，
所以到直线的距离，
解得或，
又圆C的圆心在圆的内部，所以，此时，
所以圆C的方程为．
（2）将代入，整理得，
设，则，
所以 ．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：．
（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
【解析】（1）由得，
所以直线所过定点的坐标满足方程解得
所以直线l恒过定点（3，1）．
（2）根据（1），记直线所过的定点为，当直线l被圆C截得的弦长最小时，
根据题意，，
直线l的方程为，即
20．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P到定点的距离与P到定直线l：的距离比值是．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）曲线C与x轴交于A、B两点，直线AP和BP与直线l：分别交于点M，N，试探究以MN为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由．
【解析】（1）设点，依题意，有，
两边平方，整理得．
所以动点的轨迹的方程为．
（2）设，的斜率分别为，，，，可得，
，即有，
设的方程，可得，
的方程为，可得，
即有以为直径的圆的方程为，
整理可得，
由，，解得，或，．
可得以为直径的圆经过定点，．
21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【解析】（1）由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．
设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8．x1＋x2＝m，x1x2＝2m．
令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）．
若存在以AB为直径的圆过点C，则，，
得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或．
此时C（0，－1），AB的中点即圆心，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为．
（2）设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0．
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和．
22．（2022·全国·高三专题练习）圆．
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）求证：不论为何值，圆必过两定点；
（3）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）圆的方程：，
其中恒成立，
因为圆与轴相切，所以，
解得或，
所以圆的方程为或．
（2）圆的方程即：，
联立方程组：可得：，或，
则圆恒过定点和．
（3）因为圆
将代入，可得，
变形得，所以或，
因为，点在点的左侧，
所以，，
因为直线的倾斜角不为0，
所以可设直线的方程为，
代入圆的方程可得，
整理后为，
因为直线上点在圆内部，
所以该直线与圆必然有两个交点，
并设两交点坐标为，，，，
由韦达定理可得，，
因为直线的方程为，
所以，，若，
则直线与直线关于轴对称，所以，
所以，
整理得，
将，代入，
可得，
即，
因为对任意，都有成立，
即任意，，
所以，
所以存在，使得．
专题35 圆的方程
【考点预测】
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
【题型归纳目录】
题型一：求圆多种方程的形式
题型二：直线系方程和圆系方程
题型三：与圆有关的轨迹问题
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
题型五：点与圆的位置关系判断
题型六：数形结合思想的应用
题型七：与圆有关的对称问题
题型八：圆过定点问题
【典型例题】
题型一：求圆多种方程的形式
例1．已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，设圆的标准方程为，
则圆心到直线的距离为，
又由圆被直线截得的弦长为，
可得，化简得，解得，
即圆的方程为．
故选：D．
例2．过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
例3．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
例4．过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆心为，半径为，
则，
解得，所以圆心为，
半径．
所以圆的方程为．
例5．已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以圆C的方程为，
故选：C．
例6．直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直线截距式方程知：，，
所以中点坐标为，且，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
化为一般方程为．
故选：A．
例7．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为．
故选：A
例8．过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知O、A、B、P四点共圆，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为．
故选：A．
例9．已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________．
【答案】（1，3）
【解析】设圆的方程为，
则，解得，
所以圆方程为，即，
所以圆心坐标为．
故答案为：．
例10．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．
【答案】
【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，
所以可设圆心为，半径为，
由题意知，，
又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，
，
所以，
解得，，
所以所求圆C的方程为．
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例11．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
【答案】
【解析】
设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：．
例12．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直线方程为．
（2）设圆的方程为
即
因为圆过原点，所以，
所以圆的方程为
例13．已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
【解析】若是圆、圆的交点坐标，则且，
所以必在上，
又，
所以，则在时，方程表示圆，
综上，对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
例14．已知圆和圆．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．
【解析】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．
（2）设过两圆交点的圆的方程为．
把点代入，求得．
故所求圆的方程为，
即．
【方法技巧与总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例15．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．
【答案】
【解析】，
，
化简得：，所以，点P的轨迹为圆：
故答案为：
例16．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
例17．若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
【答案】C
【解析】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则到直线
的距离为，
所以，解得，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线垂直平分线段，
所以到直线的距离
即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，
因此，
即，故C正确，D错误；
故选：C
例18．已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦．又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为相减，即．又，所以，代入有，化简得．当时，；当时，均满足方程．
又当时，不满足题意．
综上有点的轨迹方程为
故选：B
例19．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆即，半径
因为，所以
又是的中点，所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
例20．（多选题）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（ ）
A．定点
B．定点
C．点的轨迹方程为
D．的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A选项，直线过定点，A错；
对于B选项，直线的方程可化为，
由可得，故定点，B对；
对于C选项，，所以，，所以，，
线段的中点为，且，所以，，
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
所以，点的轨迹方程为，即，C对；
对于D选项，设点，，，
所以，，
所以，，
记点，则，
因为且，
所以，，
所以，，当且仅当、、三点共线且点在线段上时，
等号成立，故的最大值为，D错．
故选：BC．
例21．（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】设点C的坐标为 则
对于A：由得，即，故A错误；
对于B：由得，整理得，即，故B正确；
对于C：由得，即，故C正确；
对于D：由得，即，故D正确；
故选：BCD
例22．在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
例23．已知圆C过点，，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程．
【解析】（1）设圆的方程为
把点，，代入得：
解得：
所以圆的方程为：，化为标准方程为：
（2）联立，解得：
所以
设弦的中点M的坐标为
由垂径定理得：，即，则
由第一问知，圆心坐标为
所以，整理得：
故中点M的轨迹方程为
例24．已知圆，平面上一动点P满足：且，．
求动点P的轨迹方程；
【解析】设，则，
整理得：．
例25．已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【解析】选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C（0，0）时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：（且）．
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：．
例26．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【解析】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．
∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．
解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．
例27．设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程；
【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得：点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，整理得：，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
例28．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【解析】（1）由，
令，解得或；令，得，
所以圆过．
设圆的方程为，
，解得，
所以圆的方程为．
（2）设，则，
将的坐标代入圆的方程得，
即．
【方法技巧与总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
例29．若方程表示圆，则的取值范围为________．
【答案】或
【解析】由圆的一般方程写出标准方程，
，
即
由，可得或．
故答案为：或
例30．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件．
故选：B．
例31．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
例32．若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则．
故选：A
例33．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【解析】由曲线，可得，
即，为圆心为，半径为7的半圆，
又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，
依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，
由，得，
设，则，，
∴．
故选：D．
例34．“”是“方程是圆的方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示圆，则，
即，解得或，
故 “”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件，
故选：A
例35．已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得，解得，或．
故选：A．
例36．方程表示的曲线为（ ）
A．两条线段 B．一条线段和一个圆
C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆
【答案】C
【解析】，
则或，
又其表示线段
其表示半圆，
故选：C．
例37．已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（ ）
A．（－2，－4） B．
C．（－2，－4）或 D．不确定
【答案】A
【解析】
根据圆的一般式方程中平方项系数相等且非零，得到参数a值，再代入验证是否表示圆，即得结果．
【详解】
∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴，解得或．
当时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得标准式方程（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4），半径为5；
当时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圆．
故选：A．
【方法技巧与总结】
方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例38．已知直线过点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可得点在单位圆上，
所以直线和圆有公共点．
所以圆心到直线的距离，即得到．
故选：D
例39．已知点在圆的内部，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为点在圆的内部，则，
解得．
故选：D．
【方法技巧与总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例40．（多选题）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
【答案】AC
【解析】曲线：如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，故A正确；
对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误．
故选：AC
例41．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．
【答案】或．
【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；
（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知．
故答案为：或．
例42．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________．
【答案】或或
【解析】
设，
它表示圆心在原点的单位圆的上半圆，包括点．
设，它表示过定点，斜率为的直线，
由题得，
如图，当直线斜率为零时，直线和半圆只有一个交点，满足题意，此时；
当直线在和之间的区域运动时直线和半圆只有一个交点，满足题意，此时或．
故答案为：或或．
例43．已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由，解得，
又关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点．
易得等价于，
画出和的图象，设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，，
结合图象可知，当时，
函数的图像和的图象有两个交点．
故答案为：．
例44．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，可得；
当时，只需直线与圆相切，可得．
故k的取值范围是．
故答案为：
例45．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；
当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；
故选：C
例46．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，
由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为．
故选：D．
【方法技巧与总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例47．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别是（ ）
A．， B．，4
C．， D．，4
【答案】D
【解析】由题意得与垂直，
且直线过圆心，
所以，解得．
故选：D．
例48．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
例49．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9．
故选：B．
例50．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
例51．若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．
【答案】4
【解析】圆的圆心为，
因为圆关于直线和直线都对称，
所以圆心在直线上，也在直线上，
所以，
解得，
所以，
故答案为：4
【方法技巧与总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题
例52．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、．
故选：D．
例53．一动圆的圆心在抛物线上，且该动圆恒与直线相切，则动圆必经过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为
根据抛物线的定义可知抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等，
所以可知该动圆必过抛物线的焦点
故选：A
例54．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】D
【解析】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确．
故选：D
例55．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为．
（I）求实数的取值范围；
（II）求圆的一般方程；
（III）圆是否经过某个定点（其坐标与无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（I）令得抛物线与轴交点是；
令，
由题意，且，
解得，且．
（II）设所求圆的一般方程为，
令得，，
这与是同一个方程，
故，．
令得，，
此方程有一个根为，
代入得出，
所以圆的一般方程为：．
（III）圆过定点和．
证明如下：
圆的方程改写为，
于是有，
解得或，
故过定点和．
例56．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标．
【解析】将原方程整理得，
即，
方程表示圆心在，半径为的圆，
将原方程整理为关于k的方程：，
由
解得
即圆过定点．
【方法技巧与总结】
特殊值法
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，当且仅当，即时“=”，
所以的最小值为．
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时，有最小值，
最小值为原点到直线的距离，
即，
故选：D
3．（2022·北京市第十二中学三模）已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
【答案】D
【解析】由，所以圆心坐标为，
因为直线2x＋y－3＝0的斜率为，
所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，
所以l的方程为：，
故选：D
4．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】关于x，y的方程表示圆等价于，即，
显然由可推出，反之由不能的到（可能是）
故是的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设外接圆的方程为：，
由题意可得：，解得：，
即的外接圆的方程为：．
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由集合A的描述知：且，
∴以原点为圆心为半径的圆（含圆上），满足条件的非负整数点有，即集合中元素的个数为
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线整理可得，，即直线恒过，
同理可得，直线恒过，
又，
直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，
圆心距，
两圆相离，
，
的取值范围是．
故选：B．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于，两点，若，则的值为（ ）
A．或0 B．或4 C．0或4 D．或2
【答案】A
【解析】由，得，
则圆心为，半径为2，
由，得，
即圆心到直线的距离为，
即，即或．
故选：A．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】ABC
【解析】设点，则，则，其中．
当时，则方程为，此时点的轨迹是圆的一部分；
当且时，动点的轨迹是椭圆的一部分；
当时，动点的轨迹是双曲线的一部分．
故选：ABC．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．圆的半径为5
C．圆被轴截得的弦长为6 D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】BD
【解析】因为，
所以圆的圆心为，半径为，故A错误，B正确．
对选项C，圆心到轴的距离为，
所以圆被轴截得的弦长为，故C错误；
对选项D，圆心到轴的距离为，
所以圆被轴截得的弦长为，故D正确．
故选：BD
11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段，弧长比为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意，可设圆心为，半径为，如图所示：
根据圆被轴分成两段弧长之比为，
可得圆被轴截得的弦对的圆心角为，
所以，解得，
所以半径，
所以圆的方程为．
故选：AB．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】设圆心为，半径为，
圆被轴分成两部分的弧长之比为，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，
又圆被轴截得的弦长为4，∴，
∴，变形为，即在双曲线上，
易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有距离最小．
设切线方程为，
由，消法得，
∴，解得，
时，，时，，
即切点为或，半径为，
∴圆的方程为或．
故选：AB
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________．
【答案】
【解析】由题知，圆心为，到直线的距离为，
因为圆心为，且截直线所得弦长为，
所以，圆的半径为，
所以，所求圆的方程为．
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线上的点P，则周长最小的圆C的方程是________________．
【答案】
【解析】圆C的周长最小即半径最小，又因为圆C过直线上的点P，当圆C与直线相切时周长最小，此时圆C半径为，圆C的方程是．
故答案为：．
15．（2022·全国·高三专题练习（理））若不同的四点A（5，0），B（－1，0），C（－3，3），D（a，3）共圆，则a的值为________．
【答案】7
【解析】
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别代入A，B，C三点坐标，由求解．
【详解】
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别代入A，B，C三点坐标，
得，
解得，
所以A，B，C三点确定的圆的方程为：
x2＋y2－4x－y－5＝0．
因为D（a，3）也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0．
解得a＝7或a＝－3（舍去）．即a的值为7．
故答案为：7
16．（2022·上海·模拟预测）设直线系，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在定点P不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【解析】由直线系，
可令，消去可得，
故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确；
因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确；
由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确；
中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确．
综上，正确的命题是②③．
故答案为：②③．
四、解答题
17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程
【解析】（1）设圆心的坐标为C（a，－2a），
则＝．
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．
所以C点坐标为（1，－2），
半径r＝|AC|＝＝．
故圆C的方程为．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx，
由题意得，解得，
∴直线l的方程为，即3x+4y=0．
综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C经过点，圆C的圆心在圆的内部，且直线被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线与圆C交于A1，A2两点，求．
【解析】（1）由题意，圆C的圆心在圆，可得圆心C在线段AB的中垂线上，
可设，圆C的半径为，
因为直线被圆C所截得的弦长为，且，
所以到直线的距离，
解得或，
又圆C的圆心在圆的内部，所以，此时，
所以圆C的方程为．
（2）将代入，整理得，
设，则，
所以 ．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：．
（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
【解析】（1）由得，
所以直线所过定点的坐标满足方程解得
所以直线l恒过定点（3，1）．
（2）根据（1），记直线所过的定点为，当直线l被圆C截得的弦长最小时，
根据题意，，
直线l的方程为，即
20．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P到定点的距离与P到定直线l：的距离比值是．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）曲线C与x轴交于A、B两点，直线AP和BP与直线l：分别交于点M，N，试探究以MN为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由．
【解析】（1）设点，依题意，有，
两边平方，整理得．
所以动点的轨迹的方程为．
（2）设，的斜率分别为，，，，可得，
，即有，
设的方程，可得，
的方程为，可得，
即有以为直径的圆的方程为，
整理可得，
由，，解得，或，．
可得以为直径的圆经过定点，．
21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【解析】（1）由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．
设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8．x1＋x2＝m，x1x2＝2m．
令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）．
若存在以AB为直径的圆过点C，则，，
得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或．
此时C（0，－1），AB的中点即圆心，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为．
（2）设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0．
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0．
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和．
22．（2022·全国·高三专题练习）圆．
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）求证：不论为何值，圆必过两定点；
（3）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）圆的方程：，
其中恒成立，
因为圆与轴相切，所以，
解得或，
所以圆的方程为或．
（2）圆的方程即：，
联立方程组：可得：，或，
则圆恒过定点和．
（3）因为圆
将代入，可得，
变形得，所以或，
因为，点在点的左侧，
所以，，
因为直线的倾斜角不为0，
所以可设直线的方程为，
代入圆的方程可得，
整理后为，
因为直线上点在圆内部，
所以该直线与圆必然有两个交点，
并设两交点坐标为，，，，
由韦达定理可得，，
因为直线的方程为，
所以，，若，
则直线与直线关于轴对称，所以，
所以，
整理得，
将，代入，
可得，
即，
因为对任意，都有成立，
即任意，，
所以，
所以存在，使得．
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