专题03 原函数与导函数混合还原问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题03 原函数与导函数混合还原问题

【考点预测】

1.对于，构造，

2.对于，构造

3.对于，构造，

4.对于，构造

5.对于，构造，

6.对于，构造

7.对于，构造，

8.对于，构造

9.对于，构造，

10.对于，构造

11.对于，构造，

12.对于，构造

13对于，构造

14.对于，构造

15.；；；

16.；．

【题型归纳目录】

题型一：利用构造型

题型二：利用构造型

题型三：利用构造型

题型四：用构造型

题型五：利用、与构造型

题型六：利用与构造型

题型七：复杂型：与等构造型

题型八：复杂型：与型

题型九：复杂型：与结合型

题型十：复杂型：基础型添加因式型

题型十一：复杂型：二次构造

题型十二：综合构造

题型十三：找出原函数

【典例例题】

题型一：利用构造型

例1．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（       ）．

A． B．

C．或 D．或

例2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（       ）

A． B．

C． D．

例4．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

例5．已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（     ）

A． B．

C． D．

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

题型二：利用构造型

例6．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（     ）

A． B．

C． D．

例7．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例9．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（       ）

A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

题型三：利用构造型

例10．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

例11．若在上可导且，其导函数满足，则的解集是_________________

例12．若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数)的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例13．若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

题型四：用构造型

例14．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例15．设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例16．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

例17．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

例18．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例19．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（     ）

A． B． C． D．

例20．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

题型五：利用、与构造型

例21．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

例22．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例23．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型

题型六：利用与构造型

例24．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例25．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

例26．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例27．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型

题型七：复杂型：与等构造型

例28．已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例29．已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．

【方法技巧与总结】

对于，构造

题型八：复杂型：与型

例30．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

例31．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例32．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

例33．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

写出与的加、减、乘、除各种形式

题型九：复杂型：与结合型

例34．已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______．

例35．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1.对于，构造

2.写出与的加、减、乘、除各种结果

题型十：复杂型：基础型添加因式型

例36．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例37．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（       ）

A． B．0 C．1 D．2

例38．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

例39．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度

题型十一：复杂型：二次构造

例40．已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（       ）

A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值

例41．定义在上的函数满足，且，则（       ）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

例42．设函数满足：，，则时，（       ）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值

例43．函数满足：，，则当时，（       ）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值

例44．已知函数f（x）满足：ex（f′（x）+2f（x））＝，，且，则x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，1） D．（1，+∞）

例45．已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

二次构造：，其中等

题型十二：综合构造

例46．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例47．已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

例48．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）

题型十三：找出原函数

例49．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数

A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值

C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值

例50．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数

A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值

C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值

例51．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

熟悉常见导数的原函数.

【过关测试】

一、单选题

1．已知可导函数f（x）的导函数为，f（0）=2022，若对任意的，都有，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

2．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

3．已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

4．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（       ）

A． B． C． D．

5．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．已知函数是定义域为，是的导函数，满足，且，则关于不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

7．若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

8．设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

9．设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为

A． B． C． D．

10．已知函数的定义域为,，对任意的满足当时，不等式的解集为（   ）

A． B． C． D．

11．已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．

12．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　）

A． B． C． D．

13．奇函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为

A． B．

C． D．

14．已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为

A． B． C． D．

15．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

17．（多选）已知是定义在上的函数，是的导函数，下列说法正确的有（       ）

A．已知，且，则

B．若，则函数有极小值

C．若，且，则不等式的解集为

D．若，则

18．已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（       ）

A． B． C． D．

19．已知函数的定义域是，其导函数是 ，且满足，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

20．已知定义在上的偶函数，其导函数为，当时，.则（       ）

A． 

B．函数在区间上单调递减

C．不等式的解集为

D．不等式的解集为

21．已知定义在R上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的x可以是（       ）

A． B． C． D．

22．已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为（     ）

A．－1 B． C． D．1

三、填空题

23．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．

24．已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________

25．已知是定义在上的函数，且；其导函数为.若时，，则不等式的解集是__________.

26．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.