专题02 常用逻辑用语-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

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专题02 常用逻辑用语
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2.常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语
等于

大于

小于

是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于

小于等于

大于等于

不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

【题型归纳目录】
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定
题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【典例例题】
题型一：充分条件与必要条件的判断
例1．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2．（2022·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m，n和平面，则的一个充分条件是（       ）
A．且 B．且 C．且 D．且
（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立.
2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.








题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
例7．（2022·湖南怀化·一模）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
例8．（2022·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（       ）
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
例12．（2022·湖南怀化·一模）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B．
(1)当m＝2时，求；
(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围.





例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.




例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件，条件．．
(1)若，求．
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．





【方法技巧与总结】
1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（       ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
例19．（2022·江西·二模（理））已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为（       ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（       ）
A．存在，使得
B．直线，平面，平面，则平面
C．最小值为4
D．，是成立的充分不必要条件
（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（     ）
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．





【方法技巧与总结】
1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）已知无解，为增函数，则p是q的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·北京房山·二模）已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·全国·高三专题练习）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（       ）
：，使得；
：，都有；
：，使得；
：，使得．
A．， B．， C．， D．，
6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“，”的否定为（       ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数，且关于x的不等式的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（       ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（       ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
二、多选题
9．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（       ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件
C．“”的否定是“”
D．名同学的数学竞赛成绩分别为：，则该数学成绩的分位数为70（注：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或者等于这个值，且至少有的数据大于或者等于这个值．)
10．（2022·全国·高三专题练习）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（       ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“”的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
12．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）下列命题正确的是（       ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
三、填空题
13．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若命题“”是假命题，则a的取值范围是_______.
14．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.
15．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，则“方程在区间和上各有一个解”的一个充分不必要条件是a＝______．（写出满足条件的一个值即可）
16．（2022·全国·高三专题练习）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．




18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，.
(1)当时，是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.



19．（2022·全国·高三专题练习）已知p：表示焦点在轴上的椭圆，q：，
(1)若p是真命题，求m的取值范围；
(2)若，都是真命题，求m的取值范围．





20．（2022·全国·高三专题练习）设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.






21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.求：
（1）若，求实数的取值范围.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围






22．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．