专题21 有关等高线求值、求范围问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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专题21 有关等高线求值、求范围问题【方法点拨】函数在两点或两点以上点处的函数值相等,我们称之为等高线,此类题常以求取值范围的形式出现,其基本方法是”减元”,即充分利用函数值相等这一条件实施”消元”.对于函数，若存在正数，满足，则，且.等高线问题重在”减元”,要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”， 利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系. 【典型题示例】例1     (2022·新高考I·22改编)已知函数和，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则           ．【答案】2【分析】由“等高”得，即，这样就建立间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出、两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到，，代入求解即得解.【解析】令得所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.令得所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.故函数和有相同的最小值1如下图所示，当直线过函数和的交点时，满足题意，此时，故由，得即一方面，而所以又因为，，且在上为减函数所以，所以另一方面，由，同理可得所以再由和得据果移项得，所以综上，.例2    设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．【详解】画出函数的图象如图所示．不妨令，则，则．结合图象可得，故．∴．故选：D．例3    已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的最小值为　      　．【答案】50【分析】设<<<，则，，，且令则故当时，所以的最小值为50.例4    已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为________.【答案】【分析】由得（），即，代入，设，问题转化为求取值范围问题，利用导数知识易得.【解析】作出函数的图像如下图所示： 若存在实数满足，根据图像可得，所以，即，则，令，当时，，在区间上单调递增，，，所以，即.例5    已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.【解析】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，则有，是方程的两个根，必有，，是方程的两个不等根，则，，整理得，即，由得：或，因此有，，则有，，而函数在上单调递减，从而得，于是得，所以的取值范围是.故选：D  【巩固训练】1. (多选题)已知函数，若，且，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．2. 已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为　　A．    B．1     C． D．无最小值3.已知函数存在三个互不相等的正实数a,b,c且a<b<c时有f(a)= f(b)= f(c)，则取值范围是           .4.已知函数，若，且 ，则              .  5.已知函数若且，则的取值范围是_________.6.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是      .7.已知函数若存在，当时，，    则的取值范围是                 ．8. 已知函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围为________．9.已知函数 若存在实数，满足，则的最大值是      ．10.已知函数若互不相等，且则的取值范围是                ．11. 已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤3，且f（x1）＝f（x2），则x2－2x1的取值范围为　    　．             【答案与提示】1. 【分析】作出函数的图象分析出，，；再对答案进行分析．【解答】解：由函数，作出其函数图象：由图可知，，；当时，，有；所以；由有，即； 所以；则；故选：．2. 2.【答案】．【解析】由图及（a）（b）（c），可知，且，．则．．设．．，可得函数在上单调递减，在，上单调递增．．故选：．3.【答案】（0,8）【提示】易知，且所以∈（0,8）4.【答案】25.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】（18,34）9.【答案】2e2－1210.【答案】  【提示】不妨设，则，，故，只需确定的范围即可，利用图象立得解.11.【答案】[0，1﹣ln2]【分析】利用已知f（x1）＝f（x2）进行减元，构造函数，转化为区间上的最值问题.       【解答】由f（x1）＝f（x2）得: ，所以x2﹣2x1＝x2﹣2 e，易知1<x2≤2，设（1<x≤2），则由，得当x∈(1，2-ln2)，则g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（2-ln2，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x＝2-ln2时，g（x）取极大值也是最大值，即g（x）max＝g（2-ln2）＝1﹣ln2，又g（1）＝1－2e-1<0， g（2）＝0．故g（x）的值域为[0，1﹣ln2]．即x2－2x1的取值范围为[0，1﹣ln2]．