专题19取对数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题19 取对数

【方法点拨】

取对数是最易为学生所忽视的运算,当已知中出现复杂的指数式时,取对数往往就起到了”柳暗花明”的作用.

【典型题示例】

  例1   已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是       ．

【答案】

【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点

易知，两边均为曲线，较难求解.

两边取自然对数，，即

   问题即为：与有两个交点

   先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态”

   设切点为，则，解得，此时切点为

   代入

   再求与有两个交点时，m的取值范围

   由图象知，当在直线下方时，满足题意

   故，解之得，此时也符合

   所以实数m的取值范围是．

点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.

例2   设正实数x，则的值域为_____．

【答案】[0，]

【分析】所求函数结构是商的形式，分子、分母又是指对运算，让人“雾里看花”一头雾水，无从下手.联想到“取对数”、“换元”，就可以“拨开浓雾终见日”了.

【解析】当lnx≠0时，两边取对数得：

令lnx＝t     设

∵

∴当时，；当时，

∴，

∴，

又lnx≠0时，

∴的值域为[0，]，

∴函数的值域为[0，]．

例3   已知实数，满足，，则______.

【答案】

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.

【解法一】对两边取自然对数得：，

对两边取自然对数得：    （※）

为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：

设，则

所以在单调递增，的解只有一个.

∴， ∴

【解析二】实数，满足，，

，，则，

，

所以在单调递增，而，

.

点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

【巩固训练】

1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b

2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（   ）.

3.若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为       　 ． 

4.若函数（且）的定义域[m，n] 上的值域是[m2，n2]（1<m<n），则实数a的取值范围是       ．

5. 若函数（）有且只有三个零点，则实数a的取值范围是       ．

6.已知变量(),且,若恒成立,则实数m的最大值是       ．

【答案或提示】

1.【答案】A

2. 【答案】C

【提示一】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.

【提示二】变形为，两边取对数，构造函数，该函数单增，故等价转化为，即，只需，答案为.

3 【答案】

【提示】，，令，，.

4.【答案】

【提示】方法同例1.

5. 【答案】

【提示】，取对数得，即，分离函数转化为、有三个交点.

6.【答案】e

【提示】，则单增.