专题26 有关三角形中的范围问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题26   有关三角形中的范围问题

【方法点拨】

1.正弦平方差公式sin2－sin2＝sin(－ sin(＋

2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.

【典型题示例】

例1   在锐角中，，则的取值范围为______________.

【答案】

【解析】∵，利用正弦定理可得：，

由正弦平方差公式得，

即，

易知，故

又为锐角三角形，∴，即，

∴，∴，

∵

又，∴，令，则，

由对勾函数性质知，在上单调递增，

又，，

∴.

例2   若的内角满足，则的最小值是            ．

【答案】

【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可

【解析】　∵sin A＋sin B＝2sin C.

由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，

cos C＝＝＝≥＝，

当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.

∴cos C的最小值为.

例3  在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为　　　　．

【答案】

【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：，

如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，

因为，所以，，化简，得：

，解得：x＝3y

，，，

＝＝

＝＝.

【解析二】（边化角）

由正弦定理，得：，即，

由余弦定理得：，即，

由正弦定理，得：，即，化简得，

以主元，化简得.

例4  在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为              ．

【答案】

【解析一】（余弦定理+二次函数）

看到式子的结构特征，联想余弦定理得：

所以

当时，，的面积的最大值为．

【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）

设BC边上的中线为AM，则

∵    ∴

代人得：，即

根据基本不等式得：

又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高

所以

所以，，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时的面积的最大值为．

【解法三】（隐圆）

以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

设A，B，C(x，y)，则由a2＋b2＋2c2＝8，得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－c2，所以点C在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上，所以S≤＝≤.

【巩固训练】

1. （多选题）在中，角的对边分别为，若，则角可为（    ）

A． B． C． D．

2.在△ABC中，若，则cosB的最小值是       .

3. 已知中， ，则的最大值是  (    )

A．       B．      C．       D．

4.若的内角满足，则角的最大值是      .

5.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.    D.

6.在锐角中，角的对边分别是，，当则变化时，存在最大值，则正数的取值范围为______________.

A.                                     B.               

 C.                                  D.

7. 在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________．

【答案与提示】

1. 【答案】BC

【解析】∵，利用正弦定理可得：，

由正弦平方差公式得，

即，

易知，故

∴，即

∵，   ∴，∴，故选：BC.

2.【答案】

【提示】已知可化为

，弦化切得

∴

∴，，∴.

3. 【答案】A

【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.

4.【答案】

【解析】由可得：，

∵在递减，∴

5. 【答案】C

【解析】由得：，即

即，

而，所以

又为锐角三角形，∴，即，

∴，∴

6. 【答案】A

【解析】由，得：

根据正弦定理得：，即

又为锐角三角形，∴，即，

∴，∴ ，

（）

∵

∴欲使存在最大值，必有

∴，故，即.

7.【答案】

【解析】由题得，

所以，所以

因为

所以 故答案为：．