专题45 利用方程同解求圆的方程-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题45 利用方程同解求圆的方程

【方法点拨】

当圆与另一曲线（如抛物线）有两个公共点求圆的方程时，可考虑将曲线方程分别与直线方程联立消元，根据函数与方程的关系，则两方程同解，故可利用系数成比例求解圆的方程.

【典型题示例】

例1   （多选题）已知二次函数交轴于，两点（，不重合），交轴于点.圆过，，三点.下列说法正确的是（    ）

①圆心在直线上；        ②的取值范围是；

③圆半径的最小值为1；        ④存在定点，使得圆恒过点.

A．① B．② C．③ D．④

【答案】AD

【解析】①因为二次函数的对称轴是，且，两点关于对称，所以圆心在直线上，故正确；

②因为二次函数交轴于，两点，所以 解得且，故错误；

③设圆的方程为，（#）

令，则

则为方程的两个根

∵与轴交于，两点

∴为方程的两个根

故方程与方程的根相同

∴，，代入（#）

又∵在圆上

∴，解得

所以所求圆的方程为.

即

故，因为且，所以，故错误；

④圆M的方程为，即，则圆恒过定点，故正确；故选：AD.

例2    （多选题）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（    ）

A．且                           

B．当时，为钝角

C．圆：（且）

D．圆过定点

【解析】对于A，联立，消可得，

二次函数与直线有两个交点，则，

解得，又，故A正确；

对于B，联立消可得，

设，，则，，

则

当时，，

所以为锐角，故B错误；

对于C，设圆的方程为（因为圆过，故），

由，消可得，故为方程的两个根

由，消可得

即

故为方程的两个根

所以与为同一方程

故有，解得

所以圆的方程为（且，故C正确；

对于D，由C：（且），

整理可得，方程过定点

则 ，解得 ，所以圆过定点，故D正确；

故选：ACD.

【巩固训练】

1.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为           .

2.在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有

三个交点．经过三个交点的圆记为，则圆经过定点        （其坐标与的无关）．

3.已知圆C过点，，它与x轴的交点为，，与y轴的交点为，，且，则圆C的标准方程为___________.

4. 已知曲线与轴交于两点，与轴交于点，则外接圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案或提示】

1.【答案】

【解析】设所求圆的一般式方程为，

令，得，

则0,2是方程的两个根，所以，

所以圆的一般方程为

将代入，得，所以圆的一般方程为.

2.【答案】

【解析】设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为.

分离参数得： （*）

令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得

，解得

经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点.

3.【答案】

【解析】设圆C的一般式方程为，

令，得，所以，

令，得，所以，

所以有，所以，①

又圆C过点，，所以，②

，③，

由①②③得，，，

所以圆C的一般式方程为，标准方程为.

4. 【答案】A

【解析】设外接圆的方程为，（#）

令，则

则为方程的两个根

∵与轴交于两点

∴为方程的两个根

故方程与方程的根相同

∴，，代入（#）

又∵在圆上

∴，解得

所以所求圆的方程为.