专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（人教版）

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一、单选题
1．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】
利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．
【详解】
解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P．
答案：B．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
2．是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折，得到，则点B对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据网格求出点B坐标，向下平移2个单位，点 B的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B1的坐标，再沿y轴翻折，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′（-4，3）．
【详解】
解：∵点B坐标为（4，5）
向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B1（4，5-2），即B1（4，3），
再沿y轴翻折，
点B′（-4，3），
故选择A．
【点睛】
本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键．
3．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0B．5
C．6D．7
【答案】B
【分析】
连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】
解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
4．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（ ）
A．19B．28C．29D．38
【答案】B
【分析】
连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长．
【详解】
解：连接BD、DC，
∵AD平分∠ BAC，，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．
5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
6．在 中，， ，点是边 上一定点，此时分别在边 ，上存在点 ，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值.
【详解】
如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，，
则，，
所以、M、N、共线时，周长最小。
作、、关于的垂线，垂足为、、，
由梯形的性质，得，
在中，，
设，，，，
则由，
，
令，由，得，
所以，
即，
化简得，
所以，
又因为平分，故，
所以，
若，则，解得（负根舍去），
此时 ，
同理可知，若或均可得，
所以，
故选B
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键.
7．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．
【详解】
解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则
∵BD平分 ∠ABC ，
∴在AB上，且MN=M，
∴CM+MN=，
∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线，
∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，
∵△ABC 的面积为 10 ，
∴，
∴CE=5，
故选B．
【点睛】
本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．
8．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】
由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．
【详解】
解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．
故选：A
【点睛】
本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．


二、填空题
9．如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．

【答案】
【分析】
作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．
【详解】
解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，
∴2∠AOB+∠GDF=180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
10．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．
【答案】
【分析】
根据全等三角形的判定直接写出条件即可
【详解】
证明：添加：，理由如下：
∵直线l为线段的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴（SAS）
故答案为：
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键
11．如图，的斜边在x轴上，，C在第一象限，，是线段上的动点，过点P作的垂线a，以直线a为对称轴，线段进行轴对称变换后得线段．
（1）当点和点C重合时，m的值为______________．
（2）当线段与线段没有公共点时，m的取值范围是___________．
【答案】 或
【分析】
（1）根据折叠的性质可知，当点与点重合时，点是的中点，过点作于点，求出和的长，依此可得点坐标，再根据中点坐标公式即可求解；
（2）分线段在线段的上面和线段在线段的下面两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）过点作于点．
在中，，，
，，
在中，，，
，
点坐标为，，点坐标为，
当点与点重合时，点坐标为，，
的值为；
（2）线段在线段的上方，
，
，
，
，
则；
线段在线段的下方，
．
综上所述，或．
故答案为：；或．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，以及分类思想的运用．
12．将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图（1），，，设
（1）_______（用含x的代数式表示）
（2）若将图1继续沿折叠成图（2），________（用含x的代数式表示）．
【答案】
【分析】
（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出；
（2）由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出 ．
【详解】
解：（1）如图1所示：
，
，，
又，
，
又，
，
又，
；
（2）如图2所示：
，
，
又，
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
13．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则___________度．
【答案】230
【分析】
将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论．
【详解】
解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，
设∠ABC=x，则∠DAB=x+10°，
∵CD∥AB，
∴∠ADM=∠DAB=x+10°=∠ADF，
∵DF∥CG，
∴∠FDC=∠KCG=2x，
∵∠FDC+∠FDM=180°，
∴2x+2（x+10°）=180°，
x=40°，
∴3∠DAB+2∠ABC=3（x+10°）+2x=5x+30°=230°，
故答案为：230．
【点睛】
此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)
【答案】①②④
【分析】
根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可
【详解】
解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A=AC，DC=D，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都正确；
∵B＝D， DC=D，
∴B＝D= DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC；
∴③错误；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，

∴
∴D ∥EC
∴④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键.
15．如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将△ABF，△GDH沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与对角线上的点E重合，若∠ABF＝25°，则∠EHC＝___．
【答案】100°
【分析】
由△ABF沿BF翻折，∠ABF=25°，可得∠ABD=50°，∠ADB=40°，再由△GDH沿GH翻折，可得∠DGH=50°，∠GHD=40°，则∠DHE=80°，所以∠EHC=180°-80°=100°．
【详解】
解：∵将△ABF沿BF翻折，
∴∠ABF=∠EBF，
∵∠ABF=25°，
∴∠EBF=25°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ADB=40°，
∵将△GDH沿GH翻折，
∴∠DHG=∠EHG，GD=GE，GH⊥ED，
∴∠DGH=50°，
∴∠GHD=40°，
∴∠DHE=80°，
∴∠EHC=180°-80°=100°，
故答案为：100°．
【点睛】
本题考查了折叠问题，长方形的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键．
16．如图将长方形纸片沿直线折叠，点A、B分别对应点E、F，再将折叠后的四边形沿着射线的方向平移，点F恰好与点C重合后停止，平移后的四边形为四边形，要使，则的度数为__________．
【答案】
【分析】
先求出的度数，由平移得FN∥，求出的度数，再利用翻折的性质求出答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
由平移得FN∥，
∴，
由翻折得∠BNM=∠FNM，
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查翻折的性质，平移的性质，长方形的性质，熟记各性质并综合运用解决问题是解题的关键．
17．如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处．下列结论一定正确的有________（填序号即可）．
①；②；③；④若的度数比的倍还多，则的度数为．
【答案】①③
【分析】
利用平行线的性质及翻折的性质判断①；利用平行线的性质判断②；利用翻折的性质及即可判断③；设，则，根据题意列得，求出x的值即可得到判断④．
【详解】
解：由题意得AB∥CD，
∴，
由折叠得，
∴，故①正确；
∵AB∥CD，
∴，
∵∥，
∴，
∴，故②错误；
由翻折得．
∵．
∴，故③正确；
设，则，
∴，
解得，
∴，故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】
此题考查平行线的性质，翻折的性质，列一元一次方程解决问题，熟记平行线的性质及翻折的性质是解题的关键．
18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
【答案】
【分析】
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解】
解：平分，平分，
，，
，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
19．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________．
【答案】(0，3)
【分析】
由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．
【详解】
解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4，
则B′E=4，即B′E=AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故答案为：（0，3）．
【点睛】
本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键．
20．如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为______．
【答案】
【分析】
延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解】
解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、．
，
、关于对称，、关于对称，
，，
，同理：，
，，、M、N、在同一直线上时△AMN的周长最小，
，，
，
，
，
．
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．

三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，1），C（2，4）．
（1）在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果将△ABC向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A2B2C2，直接写出，B2，C2的坐标，
（3）求△A2B2C2的面积；
【答案】（1）见解析；（2）；（3）9
【分析】
（1）根据A、B、C三点坐标描出各点即可；依据轴对称的性质，作出对称点，顺次连接各点即可得出△A1B1C1；
（2）依据平移性质，可得到△A2B2C2，进而可得到，B2，C2的坐标；
（3）依据网格特点，利用割补法和三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1）如图所示；
（2）作出△A2B2C2，如图所示，
则；
（3）由图象可知，△A2B2C2的面积．
【点睛】
本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移、三角形的面积公式，作图时找到图形的关键点是解答的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 ；
（2）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并写出点F的坐标为 ．
【答案】（1）画图见解析，（2，﹣4）；（2）画图见解析，（0，4）
【分析】
（1）根据平移的性质即可得线段CD；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，由图即可知点F的坐标．
【详解】
解：（1）如图线段CD即为所求；
根据平移可知：点D的坐标是（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，
由图知点F的坐标为F（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点睛】
本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是根据平移的性质作出线段CD．
23．在平面直角坐标系中，对于点M（a，b），N（c，d），将点M关于直线x＝c对称得到点M′，当d≥0时，将点M′向上平移d个单位，当d＜0时，将点M′向下平移|d|个单位，得到点P，我们称点P为点M关于点N的对称平移点．
例如，如图已知点M（1，2），N（3，5），点M关于点N的对称平移点为P（5，7）．
（1）已知点A（2，1），B（4，2），
①点A关于点B的对称平移点为 （直接写出答案）．
②若点A为点B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为 ．（直接写出答案）
（2）已知点D在第一、三象限的角平分线上，点C的横坐标为m，点E的坐标为（1.5m，0）．
①点K为点E关于点D的对称平移点，若以D，E，K，O为顶点的四边形围成的面积为6，求m的值；
②点E向右平移1个单位得到点F，点E向右平移6个单位得到点l，以EF一边向上作正方形EFGH，以F一边向上作正方形FIMN，点P为正方形EFGH的边上的一个动点，在点P运动过程中，若D点关于P点的所有对称平移点都在正方形FIMN的内部或边上，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①（6，3）；②(3,-1)；（2）①；②或
【分析】
(1)①根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义，画出图形，可得结论；
②根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义画出图形，可得结论；
(2)①分两种情形: ，根据梯形的面积公式，构建方程求解即可；
②分两种情形构建不等式组求解即可．
【详解】
(1)①如图1中，点A关于点B的对称平移点P为（6，3），
故答案为: （6，3）
②如图1中，
∵点A为点B关于点C的对称平移点，
∴点C的坐标为(3,-1)，
故答案为: (3,-1)
（2）如图2中，
①当m > 0时，四边形OKDE是梯形，
∵
∴当或（舍弃）
当时，同理可得
综上所述，m的值为：；
②当时，m必须满足
解得
当m<0时，同法可得
综上所述，满足条件的m的值为或
【点睛】
本题属于四边形综合题，掌握梯形的面积公式，不等式组，轴对称，平移变换等知识是解题的关键．
24．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在的位置；
（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在的位置．
①若，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）：
②若，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．
【答案】（1）；（2）①；②50°
【分析】
（1）由平行线的性质得到∠4=∠B′FC=α，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
（2）①由（1）知，∠BFE=，根据平行线的性质得到∠BFE=∠C′GB=，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，再根据折叠的性质得到∠1+180°-2∠3=90°，结合∠3=∠1+20°即可求解．
【详解】
解：（1）如图，
由题意可知，A′E//B′F，
∴∠4=∠1=α，
∵AD//BC，
∴∠4=∠B′FC=α，
由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，
∵∠BFE+∠2+∠B′FC=180°，
∴∠2=×（180°-α）=；
（2）①由（1）知，∠BFE=90°-α，
∵EF//C′G，
∴∠BFE=∠C′GB=，
再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC=180°-，
∴∠3=∠HGC=；
②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1，
由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，
∴180°-2×(90°-∠1)+(180°-2∠3)=90°，
即∠1+180°-2∠3=90°，
∵∠3=∠1+20°，
∴∠1=50°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，以及折叠的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．
25．学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中，先按如图2所示的方法折叠，折痕为； （与相交于点）然后按如图3的方法折叠，折痕为（与落在一条直线上）．
（1）在图2的折叠过程中，若，求的度数
（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕与平行，请把小明的思考步骤补充完整．
由折叠可知，
；
；
∵
∴；（ ① ）
∴ ② ＝ ③ （等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【答案】（1）25°；（2）①两直线平行，内错角相等；②；③
【分析】
（1）根据折叠、平行和互补的性质可以得解；
（2）根据平行线的性质和判定进行解答 ．
【详解】
解：（1）∵，∴．
由折叠可知．
∵，∴．（两直线平行，内错角相等）
（2）由折叠可知，
；
；
∵
∴；（两直线平行，内错角相等）
∴＝（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③ ；
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及折叠的综合应用，熟练掌握平行线的性质和判定、折叠的性质是解题关键 ．
26．如图1和图2，在三角形纸片中，点，分别在边，上，沿折叠，点落在点的位置．
（1）如图1，当点落在边上时，与之间的数量关系为______（只填序号），并说明理由；
① ② ③
（2）如图2，当点落在内部时，直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）③，理由见详解；（2）
【分析】
（1）根据折叠的性质可得，然后根据三角形外角的性质可进行求解；
（2）延长交AC于点F，由折叠的性质可得，则有，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）根据折叠的性质可得，
∵，
∴；
故答案为③；
（2），理由如下：
延长交AC于点F，如图所示：
由折叠的性质可得，
∴根据三角形外角的性质可得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质及三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
27．（1）如图1，将一长方形纸片沿着、折叠（点在线段上，点在线段上），且，折痕与平行吗？请说明理由．
（2）如图2，将一长方形纸片沿着、折叠（点、在线段上），设，，当与平行时，与有什么数量关系？请说明理由．
（3）如图3，将一长方形纸片沿着折叠（点在线段上），不借助其他工具，请设计一个折纸方案，折叠纸片，使得边与平行．请在图3中画出折叠后的示意图，并简述你的折纸方案．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意，分别计算即可
（2）延长交于点，由折叠,；因为与，则即可求得
（3）根据平行线的判定方法构造折纸方案即可
方法一：折纸方案：将长方形纸片沿着折叠，得到折痕为，展开纸片，再将折到折痕上；
方法二：折纸方案：将长方形纸片折叠，使得与重合，得到折痕为；
展开纸片，再将长方形纸片折叠，使得点落在折痕上点处，
得到折痕为；
【详解】
（1），理由如下：
∵，

∴，
∴
∴
（2）延长交于点，
由折叠可得：，
，
∴，
，
∴
∵
∴
∴
∴
（3）方法一：
折纸方案：将长方形纸片沿着折叠，得到折痕为；
展开纸片，再将折到折痕上，此时与平行
方法二：
折纸方案：将长方形纸片折叠，使得与重合，得到折痕为；
展开纸片，再将长方形纸片折叠，使得点落在折痕上点处，
得到折痕为；此时与平行
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
28．如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形.
（1）直接写出和的位置关系；
（2）连接，写出和的数量关系，并说明理由；
（3）当，时，在上找一点，使得点到点与到点的距离之和最下小，求的面积.
【答案】（1）垂直；（2）.理由见解析；（3）.
【分析】
(1)根据对称点连线垂直于对称轴，即可确定AC⊥DE;(2)连接CE,证明四边形AECD是正方形，在结合三角形ABC是等腰三角形，即可说明;(3)先证明.△ACD≌△ABD，得到点B和点C关于AD成轴对称；连接，交于点，且当，，三点在同一条直线上，点到点与到点的距离之和最小，然后结合（1）的结论，运用三角形的面积公式即可求得.
【详解】
解：（1）垂直
（2）.理由如下：
关于的轴对称图形为.
，
在和中，
又是边上的中线
.
.
（3）在和中
点和点关于成轴对称
连接，交于点，如图所示
且当，，三点在同一条直线上，点到点与到点的距离之和最小
在中，.
由（1）知，，
【点睛】
本题是一道几何综合题，考查了轴对称、全等三角形、正方形的相关知识，考查知识点比较综合，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
29．（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形；
（2）如图2，是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴（所画的三个图形不能全等）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
(1)根据全等图形的概念，可先从面积上考虑将图形分形大小相等的两块，然后从形状上考虑，所分成的两部分必须形状相同即可，注意答案不唯一；
(2)根据轴对称图形的概念，添加部分与原来的能构成轴对称图形即可．
【详解】
(1)如图：

(2)如图：
【点睛】
本题考查的是全等图形和轴对称图形的应用，关键是掌握全等图形和轴对称图形的概念．
30．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．
【答案】（1）；（2）①m＝0；②或；（3）．
【分析】
（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．②判断出D的坐标，可得结论．
（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【详解】
解：（1）由题意：（1+2），（2+0）＝1，
∴点A和点B的系和点的坐标为（，1）．
故答案为：（，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，
∴x＝2k+mk，y＝2k．
即D（2k+mk，2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，
∴2k+mk＝2k．
∴mk＝0．
∵k≠0，
∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．
∵C（0，2），B（2，0），
∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，
∴或．
故答案为：或；
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．
2≤m≤3，
∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，
观察图象可知：，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合性较强，理解P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识，并根据题意学会利用参数构建方程或不等式解决问题是解题关键．