测试卷1 二次函数单元测试卷-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

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《二次函数》单元测试卷
考试范围：九上第一章；考试时间：100分钟；满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
【分析】根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），可得答案．
【解答】解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．已知点（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据mn＜0可得（4a+2b）（16a+4b）＜0，即可得到2a+b＞0，4a+b＜0，进一步得到b＞﹣2a＞0，求得y2﹣y3的符号以及y2﹣y1的符号即可判断y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵点（2，m）和点（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上，
∴4a+2b＝m，16a+4b＝n，
∵mn＜0，
∴（4a+2b）（16a+4b）＜0，
∴2a+b与4a+b异号，
∵a＜0，
∴2a+b＞4a+b，
∴2a+b＞0，4a+b＜0，
∴b＞﹣2a＞0，
∵（﹣1，y1），（1，y2），（3，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝a+b，y3＝9a+3b，
∵y2﹣y1＝（a+b）﹣（a﹣b）＝2b＞0，
∴y2＞y1，
∵y2﹣y3＝（a+b）﹣（9a+3b）＝﹣4（2a+b）＜0，
∴y2＜y3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：B．
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a、b与0的大小关系以及与x轴的交点情况即可作出判断．
【解答】解：函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象交于x轴上同一点（﹣，0），
A．二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，a＞0，ab＜0，则b＜0，
一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；
B．二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，a＜0，ab＞0，则b＜0，
一次函数的图象经过二、三、四象限，则a＜0，b＜0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；
C．二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，a＜0，ab＜0，则b＞0，
一次函数的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；
D．二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，a＞0，ab＜0，则b＜0，
一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，不交于x轴上同一点，符合题意；
故选：D．
4．根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
5．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）

A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：
①2b+c＞0；
②2a+c＜0；
③a（m+1）﹣b+c＞0；
④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a；
则其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线经过（1，0）可得b＝﹣a﹣c，由x＝2时y＜0可推出2a+c＜0，2b+c＞0，从而判断①②，由a（m+1）﹣b+c＝am+a﹣b+c及a﹣b+c＝0可判断③，将方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线y＝1有两个交点的问题可判断④．
【解答】解：∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵抛物线开口向下，﹣2＜m＜﹣1，
∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，②正确．
∵2a+c＜0，
∴﹣2a﹣c＞0，即2（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞0，①正确．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵a（m+1）﹣b+c＝am+a﹣b+c，am＞0，a﹣b+c＝0，
∴a（m+1）﹣b+c＞0，③正确．
若a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，
则a（x﹣m）（x﹣1）＝1，有两个不相等的实数根，
∵抛物线开开口向下，
∴抛物线顶点纵坐标大于1，
即＞1，
∴4ac﹣b2＜4a，④正确．
故选：A．
7．如图，矩形OABC中，A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点为M，下列说法正确的结论有（　　）
①当M在矩形OABC内部或其边上时，m的取值范围是﹣4≤m≤﹣1；
②抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上；
③如果顶点在△AOC内（不包含边界），m的取值范围是﹣＜m＜0．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①先确定顶点M的的表达式，再根据题意列出关于m的不等式组求解即可；
②将①确定的顶点坐标代入直线y＝﹣x+1进行判定即可；
③先确定直线AC的解析式，然后再列出关于m的不等式组求解即可．
【解答】解：①∵y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点M的坐标为（m，﹣m+1）．
∵当M在矩形OABC内部或其边上，
∴，
即：，
∴﹣1≤m≤0，故①错误．
②∵顶点M的坐标为（m，﹣m+1），
∴当x＝m时，有﹣m+1＝﹣m+1，
抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上，即②满足题意．
③∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴直线AC的抛物线为y＝x+2．
∵顶点M在△AOC内（不包含边界），
∴，
即：，
∴﹣＜m＜0，③正确．
故选：C．
8．如图，将一个含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点A的坐标为（1，0），点C在y轴上．过点A，C作抛物线y＝2x2+bx+c，且点A为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点B，那么抛物线要沿对称轴向下平移（　　）

A．5个单位 B．6个单位 C．7个单位 D．8个单位
【分析】过B作BM⊥x轴于M，由抛物线的顶点为A，求解抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明△CAO≌△ABM，再求解B的坐标，再写出向下平移n个单位后的抛物线的解析式，代入B的坐标即可得到答案．
【解答】解：如图，过B作BM⊥x轴于M，

∵抛物线y＝2x2+bx+c的顶点为A（1，0），
∴，
∴b＝﹣4，
∴2﹣4+c＝0，
解得：c＝2，
∴抛物线为：y＝2x2﹣4x+2，
∴C（0，2），
∵AC＝AB，∠CAB＝∠COA＝∠AMB＝90°，
∴∠CAO+∠BAM＝∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠CAO＝∠ABM，
∴△CAO≌△ABM（AAS），
∴CO＝AM＝2，OA＝BM＝1，
∴B（3，1），
∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，设抛物线向下平移n个单位后过B点，
∴y＝2（x﹣1）2﹣n过B点，
∴8﹣n＝1，
解得：n＝7．
故选：C．
9．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m
②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，
∴函数解析式为，
把h＝30代入解析式得，，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选D．
10．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．

A．或 B．或 C．或 D．
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式 　 　．
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a＞0即可．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
且与y轴的交点为（0，1），
∴函数解析式可以为：y＝x2+1（答案不唯一），
故答案为：y＝x2+1．
12．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 　 　．
【分析】由题意可知，每件商品的售价上涨x元，则每件的利润为60﹣50+x＝（10+x）元，每月销售量减少10x件，每个月的销售量为（200﹣10x）件，根据总利润＝单个利润×销售量，代入计算即可得出关系式，由件售价不能高于72元，可得自变量x的取值范围为0≤x≤12．
【解答】解：每件商品的售价上涨x元，则每件的利润为60﹣50+x＝（10+x）元，每月销售量减少10x件，
根据题意可得，
y＝（10+x）（200﹣10x）
＝﹣10x2+100x+2000，
∵每件售价不能高于72元，
∴0≤x≤12．
∴y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．
故答案为：y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．
13．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　 　s时，小球达到最高点．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
14． 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为
　 　m时，竖直高度达到最大值．

【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
15．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　 　．

【分析】根据对称性，表示A、B两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可．
【解答】解：如图，

过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD，
∵A、B关于直线y＝x对称，
设A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵，
∴，
（4）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴当a1＝﹣2时，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
点A的坐标为（﹣2，2）；
当a2＝1时，b＝a+4＝1+4＝5，
点A的坐标为（1，5）．
故答案为：（﹣2，2）或（1，5）．
16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　 　；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　 　．

【分析】（1）求出点B、D的坐标，再将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，可证明△DFF'≌△DGG'（SAS），则FF'＝GG'，求出FF'长即为G点的运动轨迹长．
【解答】解：（1）∵A（3，0），C（0，），四边形OABC是矩形，
∴B（3，），
∵D是BC的中点，
∴D（，），
∵点P与原点重合，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x，
故答案为：y＝﹣x2+x；
（2）∵OM＝OC，
∴OM＝，
∴M（0，），
如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，
∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，
∴∠GDG'＝∠FDF'，
∴△DFF'≌△DGG'（SAS），
∴FF'＝GG'，
当P点与O点重合时，y＝﹣x2+x，
令y＝0，则x＝0或x＝，
∴E（，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F（3，）；
当P点与M点重合时，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点B（3，），D（，），P（0，）代入，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
解得x＝6或x＝﹣，
∴E（6，0），
设直线ED的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F'（3，）；
∴FF'＝﹣＝，
∴GG'＝，
∴点G的运动路径的长是，
故答案为：．

三．解答题（共7小题）
17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．

【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；
（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
18．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
12
…
（1）m的值为 　 　；
（2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）当y≥0 时，则x的取值范围是 　 　．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）描点法画出函数图象即可；
（3）结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c（a≠0），
将点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）代入，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，m＝5，
故答案为：5；
（2）如图所示：
（3）如图，当y≥0时，x≥3或x≤﹣1，
故答案为：x≥3或x≤﹣1．

19．（8分）已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
【分析】（1）利用顶点式写出抛物线解析式；
（2）设顶点M的纵坐标为m，利用顶点的坐标公式得到m＝，再进行配方得到m＝﹣（k﹣）2﹣＜0，从而可判断抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）先利用配方法得到M（﹣k，﹣k2+k﹣2），再根据直线y＝﹣k垂直平分MM′得到﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，然后解方程即可．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M的坐标为（﹣2，﹣4），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4；
（2）证明：设顶点M的纵坐标为m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M点关于直线y＝﹣k的对称点M′落在x轴上，
而M点在x轴下方，
即直线y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值为1或2．
20．（8分）已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，
然后解关于k的方程即可．
【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
21．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）已知P（t，m）和Q（4，n）是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围．
（3）请结合函数图象，直接写出不等式﹣x+2≥x2+bx的解集．

【分析】（1）将y＝0代入直线解析式求出点A坐标，从而可得b的值，进而求解．
（2）将点Q坐标代入抛物线解析式求出n的值，根据抛物线开口方向及对称轴求解．
（3）令x2﹣2x＝﹣x+2，求出点B，A的横坐标，结合图象求解．
【解答】解：（1）将y＝0代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝0，
解得x＝2，
∴A的坐标为（2，0），
∴4+2b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1）．
（2）将（4，n）代入y＝x2﹣2x得n＝16﹣8＝8，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴（4，8）关于对称轴的对称点坐标为（﹣2，8），
∵m＜8，抛物线开口向上，
∴﹣2＜t＜4．
（3）令x2﹣2x＝﹣x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴点B横坐标为﹣1，点A横坐标为2，
由图象可得﹣1≤x≤2时﹣x+2≥x2+bx．
22．（10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
23．（10分）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a+3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数（与a无关）时，称y有“极差常函数”．
（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（　　）内画“√”，如果不是，请在对应（　　）内画“×”．
①y＝2x （ 　 　）；
②y＝﹣2x+2 （ 　 　）；
③y＝x2 （ 　 　）．
（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；
（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．
【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；
②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；
③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2 不是“极差常函数”，
（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；
（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由此可得当x＝a时，y有最大值a2﹣a（a+3）+4，当x＝时，y有最小值4﹣，则h＝，4ah＝（a﹣3）2，再由a的范围确定4ah的范围即可．
【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，
∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，
∴y＝2x是“极差常函数”，
故答案为：√；
②∵y＝﹣2x+2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，
∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，
∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，
故答案为：√；
∵y＝x2 是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，
当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；
当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；
∴y＝x2 不是“极差常函数”，
故答案为：×；
（2）当x＝0时，y＝q，
∴函数与y轴的交点为（0，q），
当y＝0时，x＝﹣，
∴函数与x轴的交点为（﹣，0），
∴S＝×|q|×|﹣|＝1，
∴＝2，
当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，
∴p＝1，
∴q＝±，
∴函数的解析式为y＝x；
当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，
∴p＝﹣1，
∴q＝±，
∴函数的解析式为y＝﹣x；
综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；
（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，
∴函数的对称轴为直线x＝，
∵b＝a+3，
∴x＝＝+，
∵，
∴≤+≤，≤a+3≤，
∵a＞0，a＜+＜a+3，
∴当x＝a时，y有最大值a2﹣a（a+3）+4，
当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，
∴h＝a2﹣a（a+3）+4﹣4+＝，
∴4ah＝（a﹣3）2，
∴≤4ah≤．
24．（10分）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，再把B（﹣1，0）代入即可得出答案；
（2）①过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，根据∠BAD＝∠BEA＝90°，又因为∠ABE＝∠DBA，证明出△BAE∽△BDA，从而得出AB2＝BE⋅BD，将BD＝2（m+1），BE＝2，AE＝4代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到C（7，﹣4），点M的横坐标为4，B（﹣1，0），要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以BC为边时，存在平行四边形为BCMQ；2）当以BC为边时，存在平行四边形为BCQM；3）当以BC为对角线时，存在平行四边形为BQCM；即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；

②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．