2023届高考数学一轮复习作业函数模型及其应用新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数模型及其应用新人教B版（答案有详细解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
A B
C D
B [函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，半缸水前，h的变化是越来越慢，半缸水后，h的变化是越来越快，故选B．]
2．(2021·湖南衡阳市八中高三模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为( )
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
A [当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，
则eq \f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq \f(216,8)＝27，整理可得e6a＝eq \f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，
当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq \f(1,9)×648＝72．]
3．(2021·北京朝阳区高三二模)某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则q的值至少为( )
A．eq \r(5,2.4) B．eq \r(5,2.5) C．eq \r(4,2.4) D．eq \r(4,2.5)
C [因为该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，所以2024年的生活垃圾为20＋4＝24(万吨)；
因为从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍，
所以2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为5q4(万吨)，
所以24－5q4≤24×0.5，解得：q≥eq \r(4,2.4)．故q的值至少为eq \r(4,2.4)．]
4．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
C [设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可获得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32．
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]
5．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为s＝eq \f(1,2)t2米，那么，此人( )
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米
D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米
D [已知s＝eq \f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq \f(1,2)t2－6t＋25＝eq \f(1,2)(t－6)2＋7．当t＝6时，d取得最小值7．故选D．]
6．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
A [设仓库建在离车站x千米处，则y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．]
二、填空题
7．某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
300 [由题意知100＝alg2(1＋1)⇒a＝100，
当x＝7时，可得y＝100lg2(7＋1)＝300．]
8．(2021·广东深圳市高三模拟)冈珀茨模型(y＝k·abt)是由冈珀茨(Gmpertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0·e1.4e－0.125t(当t＝0时，表示2020年初的种群数量)，若m(m∈N*)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为________．(ln 2≈0.7)
9．为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张360元，使用规定：不记名，每卡每次仅限1人，每天仅限1次．公司共90名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次40元，如果要使每位员工健身10次，那么公司购买________张健身卡最合算．
10 [设购买x张健身卡，这项健身活动的总支出为y，
则y＝eq \f(90×10,x)×40＋360x，
即y＝360eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(100,x)＋x))≥360×2eq \r(\f(100,x)·x)＝7 200，
当且仅当eq \f(100,x)＝x，
即x＝10时取等号，
所以公司购买10张健身卡最合算．]
三、解答题
10．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
[解](1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，
所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，
所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
11．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋4x，0＜x＜8，,11x＋\f(49,x)－35，x≥8.))每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；
(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解](1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．
依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋4x))－5＝－eq \f(1,2)x2＋6x－5；
当x≥8时，P(x)＝10x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(11x＋\f(49,x)－35))－5＝30－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(49,x)))．
所以P(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋6x－5，0＜x＜8，,30－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(49,x)))，x≥8.))
(2)当0＜x＜8时，P(x)＝－eq \f(1,2)(x－6)2＋13，当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；
当x≥8时，P′(x)＝－1＋eq \f(49,x2)＜0，所以P(x)为减函数，当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝eq \f(127,8)．
由13＜eq \f(127,8)可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为eq \f(127,8)万元．
1．(2021·西安中学高三月考)良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2eq \s\up12(eq \f(－T,5 730)) (N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的eq \f(3,7)，据此推测良渚古城存在的时期距今约______年(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)
6 876 [∵样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2eq \s\up12(eq \f(－T,5 730))，
由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的eq \f(3,7)，
∴N0·2eq \s\up12(eq \f(－T,5 730))＝eq \f(3,7)N0，即2eq \s\up12(eq \f(－T,5 730))＝eq \f(3,7)，两边同时取以2为底的对数，得eq \f(－T,5 730)＝lg23－lg27＝eq \f(lg 3,lg 2)－eq \f(lg 7,lg 2)≈eq \f(0.48,0.3)－eq \f(0.84,0.3)＝－1.2．∴T＝1.2×5 730＝6 876年．
∴推测良渚古城存在的时期距今约6 876年．]
2．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
(1)130 (2)15 [(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．
(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a＜120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤eq \f(1,8)a恒成立，x≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)a))min，又a≥120，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)a))min＝15所以x≤15．综上可知，0≤x≤15．所以x的最大值为15．]
3．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2eq \s\up12((1－kt)(x－b)2)，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
(1)试确定k，b的值；
(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x(单位：千元)近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
[解](1)由已知得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝2eq \s\up12(1－0.75k5－b2),2＝2eq \s\up12(1－0.75k7－b2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－0.75k5－b2＝0，,1－0.75k7－b2＝1，))
解得b＝5，k＝1．
(2)当p＝q时，2eq \s\up12((1－t)(x－5)2)＝2－x，
所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋eq \f(x,x－52)＝1＋eq \f(1,x＋\f(25,x)－10)．
而f(x)＝x＋eq \f(25,x)在(0,4]上单调递减，
所以当x＝4时，f(x)有最小值eq \f(41,4)，
故当x＝4时，关税税率的最大值为500%．