2023届高考数学一轮复习作业数列新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业数列新人教B版（答案有详细解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数列一、选择题1．(2021·聊城高三模拟)等差数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，若S2 021＝4 042，则a1 011＝(　　)A．2    B．4    C．1 010    D．2 010A　[因为S2 021＝×2 021＝×2 021＝2 021×a1 011＝4 042，所以a1 011＝2，故选A．]2．设正项等比数列{an}满足a4－a3＝36，a2＝6，则a1＝(　　)A．3    B．    C．2    D．C　[设等比数列{an}的公比为q，因为a4－a3＝36，a2＝6，所以a2q2－a2q＝36，即6q2－6q＝36，q2－q＝6，解得q＝3或－2(舍去)，q＝3，则a1＝＝＝2，故选C．]3．(2021·山东省实验中学高三二模)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)A．28    B．29    C．30    D．31B　[设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，中间项为an＋1，故S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29，故选B．]4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝－6，S9－S4＝75，则Sn取得最大值时n＝(　　)A．14    B．15    C．16    D．17A　[设等差数列{an}的公差为d，∵a8－a5＝－6，S9－S4＝75，∴3d＝－6,5a1＋30d＝75，解得a1＝27，d＝－2，∴an＝27－2(n－1)＝29－2n．令an≥0，解得n≤＝14＋．则Sn取得最大值时n＝14．故选A．]5．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是：有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢(　　)A．5    B．6    C．7    D．8B　[大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足＋≥33，即2n－1＋2－≥33，即2n－≥32，则f(n)＝2n－在n≥1上单调递增，∵f(5)＝25－＝32－<32，f(6)＝26－＝64－>32，∴相遇时是第6天，故选B．]6．已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数f(x)＝x2－9x＋14的两个零点，则a3a4＝(　　)A．－14    B．9    C．14    D．20D　[∵等差数列{an}中，a1，a6为函数f(x)＝x2－9x＋14的两个零点，∴a1＋a6＝9，a1a6＝14，∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，当a1＝2，a6＝7时，d＝1，a3＝4，a4＝5，a3a4＝20．当a1＝7，a6＝2时，d＝－1，a3＝5，a4＝4，a3a4＝20．故选D．]7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：①＝λ(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③＝a3＋a98，则S100＝(　　)A．29    B．40    C．45    D．50D　[因为＝λ，且A，B，O确定一个平面，所以A，B，C三点共线，且A，B，C，O四点共面．又因为＝a3＋a98，所以a3＋a98＝1．又因为{an}是等差数列，所以S100＝＝＝50，故选D．]8．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为(　　)A．13   B．39C．48   D．58C　[由排列的规律可得，第n－1行结束的时候共排了1＋2＋3＋…＋(n－1)＝＝个数，则第n行的第一个数字为＋1，第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48，故选C．]二、填空题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则{an}的公比q等于        ．－　[S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a2＋a3)＝a1＋a1＋a2，所以2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，化为2q2＋q＝0，解得q＝－(q＝0舍去)．]10．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋tn(n∈N*，t为非零常数)，且a1，a2，a3成等比数列，则an＝        ．　[a2＝a1＋t＝1＋t，a3＝a2＋2t＝1＋3t，依题意a1，a2，a3成等比数列，即(1＋t)2＝1×(1＋3t)，解得t＝0(舍去)，t＝1．n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，以上各式相加得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝n(n－1)，即有an＝．n＝1时，表达式也成立，所以∀n∈N*，an＝．]11．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于        ．(盈利额＝总收入－总成本)4　[设每年的营运成本为数列{an}，依题意该数列为等差数列，且a1＝3，d＝2．所以n年后总营运成本Sn＝n2＋2n，因此，年平均盈利额为：＝－n－＋18≤－2＋18＝10，当且仅当n＝4时等号成立．]12．等差数列{an}的公差为2，若a＝a2·a8，且＋＋…＋＝2n＋1(n∈N*)，则b3＝        ，数列{bn}的通项公式为        ．48　bn＝　[∵等差数列{an}的公差为2，a＝a2·a8，∴(a1＋3×2)2＝(a1＋2)(a1＋7×2)，解得a1＝2．∴an＝2＋2(n－1)＝2n．∵＋＋…＋＝2n＋1(n∈N*)，∴n≥2时，＋＋…＋＝2n，∴＝2n＋1－2n＝2n，可得：bn＝n·2n＋1．n＝1时，＝22，解得b1＝8．∴bn＝∴b3＝3×24＝48．]三、解答题13．(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．[解](1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5．因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*．(2)因为an＋1＝所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，  ①a2k＋1＝a2k＋2，  ②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300．14．(2021·江苏盐城中学高三一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)在①bn＝，②bn＝an·2n，③bn＝(－1)n·Sn这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若        ，求数列{bn}的前n项和Tn．[解](1)因为Sn＝n2，所以Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以an＝2n－1．(2)若选①：因为bn＝＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝1－．若选②：因为bn＝an·2n＝(2n－1)·2n，所以Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，则2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，两式相减可得：－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1．若选③：bn＝(－1)n·Sn＝(－1)n·n2，当n为偶数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2＝(22－12)＋(42－32)＋…＋＝3＋7＋…＋2n－1＝＝；当n为奇数时，Tn＝Tn－1－n2＝－n2＝；综上：Tn＝(－1)n．15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，        ．给出下列三个条件：条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．[解]　选条件①：(1)∵数列{Sn＋a1}为等比数列，∴(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．设等比数列{an}的公比为q，∴(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍)，∴an＝a1qn－1＝2n－1．(2)由(1)知：an＝2n－1，∴bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－．选条件②：(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1，∴an＋1＝Sn＋1，又an＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N)，两式相减有：an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝S1＋1＝2，也适合上式，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝a1qn－1＝2n－1．(2)由(1)知：an＝2n－1，∴bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－．选条件③：(1)∵2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1，∴2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an(n≥2)，即2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an，(n≥2)．由两式相减可得：2an＝nan＋1－2(n－1)an，即an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝2a1，也适合上式，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝a1qn－1＝2n－1．(2)由(1)知：an＝2n－1，∴bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－．16．已知函数f(x)＝xln x＋kx，k∈R．(1)求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若不等式f(x)≤x2＋x恒成立，求k的取值范围；(3)求证：当n∈N*时，不等式ln(4i2－1)＞成立．[解](1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x＋k，f′(1)＝1＋k，∵f(1)＝k，∴函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－k＝(k＋1)(x－1)，即y＝(k＋1)x－1．(2)对于不等式f(x)≤x2＋x恒成立，即xln x＋kx≤x2＋x恒成立，因为x＞0，所以ln x＋k≤x＋1恒成立，即ln x－x＋k－1≤0恒成立．设g(x)＝ln x－x＋k－1(x＞0)，g′(x)＝－1，x∈(0,1)，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∵不等式f(x)≤x2＋x恒成立，且x＞0，∴ln x－x＋k－1≤0，∴g(x)max＝g(1)＝k－2≤0即可，故k≤2．(3)证明：由(2)可知：当k＝2时，ln x≤x－1恒成立，令x＝，由于i∈N*，＞0．故ln ＜－1，整理得：ln(4i2－1)＞1－，变形得： ln(4i2－1)＞1－，即：ln(4i2－1)＞1－，i＝1,2,3…，n时，有ln 3＞1－，ln 15＞1－，…ln(4n2－1)＞1－，两边同时相加得：ln(4i2－1)＞n－＝＞，所以不等式在n∈N*上恒成立．