专题2.4线段、角的轴对称性-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题2.4线段、角的轴对称性

【名师点睛】

一、        角平分线的性质：

二、角平分线的判定

三、线段垂直平分线的性质

四、线段垂直平分线的

【典例剖析】

【例1】（2019秋•广陵区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．

【分析】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，则可根据SAS判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DC＝DE，

在△DCF和△DEB中，，

∴△DCF≌△DEB，（SAS），

∴BD＝DF．

【变式1】（2021秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．

【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．

【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

在△PCE和△PDF中，

∴△PCE≌△PDF（AAS），

∴PC＝PD．

【例2】（2019秋•新北区期中）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，

并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）

【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．

【解析】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；

②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；

③连接BF，则直线BF即为∠ABC的角平分线；

⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点；

⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求．

【例3】（2021秋•丹阳市期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．

（1）求线段BC；

（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 　7　cm．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13cm；

（2）由BC＝13结合OB+OC+BC＝27得到OB+OC＝14，根据线段垂直平分线的性质可得OA＝OB＝OC，继而求得OA的长．

【解析】（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

同理，EA＝EC，

∵△ADE的周长13，

∴AD+DE+EA＝13，

∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；

（2）连接OB，OC，

∵△OBC的周长为27，

∴OB+OC+BC＝27，

∵BC＝13，

∴OB+OC＝14，

∵OM垂直平分AB，

∴OA＝OB，

同理，OA＝OC，

∴OA＝OB＝OC＝7（cm），

故答案为：7．

【变式3】（2021秋•高港区月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．

（1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数；

（2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由；

（3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长．

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解；

（2）根据垂直平分线的性质可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，再利用三角形内角和可得∠BAC的度数；

（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP＝BP，AQ＝CQ，然后求出△APQ周长等于BC，从而得解．

【解析】（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，

∴AP＝BP，AQ＝CQ，

∵∠BAC＝80°，

∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，

∵AP＝BP，AQ＝CQ，

∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，

∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°；

（2）如图，

∵AP⊥AQ，

∴∠PAQ＝90°，

由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，

∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，

∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，

∴∠BAC＝135°；

答：当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ；

（3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，

∵BC＝10，

∴△APQ周长＝10．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2021秋•靖江市期末）如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的（　　）处，这块薄板就能保持平衡．

A．三条角平分线的交点 

B．三条中线的交点 

C．三条高线所在直线的交点 

D．三边垂直平分线的交点

【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可得出答案．

【解析】∵三角形的重心是三角形三边中线的交点，

∴如果用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处，这块薄板就能保持平衡．

故选：B．

2．（2021秋•江都区期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（　　）

A．40° B．44° C．48° D．52°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可．

【解析】在△ABC中，∠BAC＝114°，

则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，

∵EG是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠EAB＝∠B，

同理：∠FAC＝∠C，

∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，

∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，

故选：C．

3．（2021秋•锡山区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若△ABC的周长为19cm，AE＝3cm，则△ACD的周长为（　　）

A．22cm B．19cm C．13cm D．7cm

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解析】∵△ABC的周长为19cm，

∴AB+AC+BC＝19cm，

∵DE是AB的垂直平分线，AE＝3cm，

∴DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），

∴AC+BC＝19﹣6＝13（cm），

∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝13（cm），

故选：C．

4．（2021秋•徐州期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13

【分析】过E作EEF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF＝DE＝3，根据三角形面积公式求出即可．

【解析】过E作EF⊥BC于F，

∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，

∴EF＝DE＝3，

∵BC＝10，

∴△BCE的面积为＝15，

故选：B．

5．（2021秋•崇川区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出DE，根据角平分线的性质求出CD．

【解析】作DE⊥AB于E，如图所示：

则×AB×DE＝16，即×8×DE＝16，

解得，DE＝4，

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE＝4，

故选：B．

6．（2021秋•常州期末）如图，∠ABC、∠ACE的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】根据角平分线的性质得到PF＝PG，根据三角形的面积公式即可得到①正确；过P作PH⊥AC于H，根据角平分线的定义和外角定理得到∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，求得∠ACB＝2∠APB，于是得到∠APB+∠ACP＝90°，故②正确；根据四边形的内角和定理得到∠ABC+∠FPG＝180°，根据全等三角形的性质得到∠APF＝∠APG，∠CPH＝∠CPG，于是得到∠ABC+2∠APC＝180°，故③正确．

【解析】∵PB平分∠ABC，PF⊥BD，PG⊥BE，

∴PF＝PG，

∴S△ABP：S△BCP＝AB•PF：BC•PG＝AB：BC，故①正确；

过P作PH⊥AC于H，

∵PC平分∠ACE，

∴PH＝PG，

∴PF＝PH，

∴PA平分∠CAF，

∵BP平分∠ABC，

∴∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，

∴∠ACB＝2∠APB，

∵∠ACB+∠ACE＝180°，

∴＝∠APB+∠ACP＝90°，故②正确；

∵PF⊥AB，PG⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠FPG+90°＝360°，

∴∠ABC+∠FPG＝180°，

在Rt△PAF和Rt△PAH中，

，

∴Rt△PAF≌Rt△PAH（HL），

∴∠APF＝∠APG，

同理：Rt△PCH≌Rt△PCG（HL），

∴∠CPH＝∠CPG，

∴∠FPG＝2∠APC，

∴∠ABC+2∠APC＝180°，故③正确；

故选：D．

7．（2021秋•崇川区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD＝3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（　　）

A．19 B．16 C．29 D．18

【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，易得AE＝BE，又由△ACE的周长是13，可求得AC+BC＝13，继而求得答案．

【解析】∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，AB＝2AD＝6，

∵△ACE的周长是13，

∴AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝13，

∴△ABC的周长是：AB+AC+BC＝6+13＝19．

故选：A．

8．（2020秋•天宁区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解析】∵DE是AB边的垂直平分线，

∴EB＝EA，

∵FG是BC边的垂直平分线，

∴GB＝GC，

∵△BEG的周长为16，

∴GB+GE+EB＝16，

∴AE+GE+GC＝16，

∴AC+GE+GE＝16，

∵GE＝1，

∴AC＝16﹣2＝14，

故选：C．

9．（2020秋•射阳县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【分析】作DE⊥BC，根据三角形内角和定理得到∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质解答即可．

【解析】过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，

∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，

∴DE＝AD＝2，

故选：C．

10．（2021秋•工业园区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）

①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．

【解析】①过点P作PD⊥AC于D，

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，

∴PM＝PN，PM＝PD，

∴PM＝PN＝PD，

∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；

②∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，

∴∠ABC+∠MPN＝180°，

在Rt△PAM和Rt△PAD中，

，

∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），

∴∠APM＝∠APD，

同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），

∴∠CPD＝∠CPN，

∴∠MPN＝2∠APC，

∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；

③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，

∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，

∴∠ACB＝2∠APB，③正确；

④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）

∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，

∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，

故选：D．

二．填空题（共8小题）

11．（2020秋•玄武区校级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　．

【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．

【解析】如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴PE＝PF，

∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．

12．（2022•广陵区一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，如果AC＝6cm，BC＝8cm，则DE的长为 　3　cm．

【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分线的性质得到CD＝DE，接着在Rt△DEB中利用勾股定理建立方程模型求解．

【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，∠C＝90°，

∴CD＝DE，AC＝AE，

∵AC＝6cm，BC＝8cm，

∴AB＝＝10cm，

∴BE＝AB﹣AE＝10﹣AC＝10﹣6＝4，

设DE＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x，

在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，

∴（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝DE＝3cm．

故答案为：3．

13．（2022•宿城区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝　70°　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝30°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．

【解析】∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

∴∠BAE＝∠B＝30°，

∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，

∵∠C＝50°，

∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°，

故答案为：70°．

14．（2021秋•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 　14　cm2．

【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出DE＝AD＝4cm，再根据三角形的面积公式求出答案即可．

【解析】过D作DE⊥BC于E，

∵∠A＝90°，对角线BD平分∠ABC，

∴AD＝DE，

∵AD＝4cm，

∴DE＝4cm，

∵BC＝7cm，

∴S△BCD＝＝14（cm2），

故答案为：14．

15．（2021秋•苏州期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，∠ACB＝135°，则∠MCN＝　90　度．

【分析】据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解．

【解析】∵∠ACB＝135°，

∴∠A+∠B＝45°．

∵AM＝CM，BN＝CN，

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，

∴∠ACM+∠BCN＝45°．

∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝135°﹣45°＝90°．

故答案为：90．

16．（2021秋•锡山区期末）如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是 　10　．

【分析】过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可求PE＝PF＝PD＝2，结合三角形的周长，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．

【解析】过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AP，

∵∠B和∠C的平分线交于P点，PD⊥BC，

∴PE＝PF＝PD＝2，

∵△ABC的周长是10，

∴AB+BC+AC＝10，

∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC

＝

＝

＝

＝10．

17．（2021秋•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为　10　°．

【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，DA＝DC，进而得到DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．

【解析】连接DA、DC，

∵∠BAC＝80°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，

∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，

∴DA＝DB，DA＝DC，

∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，

∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，

∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，

故答案为：10．

18．（2018秋•惠山区期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　115°　

【分析】根据三角形内角和定理得到∠BMN+∠BNM＝130°，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质计算．

【解析】∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，

∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，

∵M在PA的中垂线上，

∴MA＝MP，

∴∠MAP＝∠MPA，

同理，∠NCP＝∠NPC，

∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，

∴∠MPA+∠NPC＝×130°＝65°，

∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，

故答案为：115°．

三．解答题（共6小题）

19．（2019秋•泰兴市期中）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．

【解析】如图，点P为所作．

20．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．

（1）求证∠B＝∠C；

（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的店铺与性质可证明结论；

（2）证明△CMF∽△CAH，列比例式计算可求解．

【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，

∴AH是BC的垂直平分线．

∴AB＝AC．

∴∠B＝∠C；

（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，

∴∠BAH＝∠CAH．

∵AH⊥BC，EF⊥BC，

∴∠AHB＝∠EFB＝90°．

∴AH∥EF．

∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．

∴∠E＝∠AME．

∴AM＝AE＝2．

∵AB＝AC＝5，

∴CM＝AC﹣CM＝3．

∵AH∥EF，

∴△CMF∽△CAH．

∴＝．

∴＝．

∴MF＝．

21．（2021秋•南京期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．

（1）求证：点O在BC的垂直平分线上：

（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，则OA＝　　．

【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；

（2）延长AO交BC于D，先证明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性质可求BD＝6，再两次利用勾股定理可求解OA的长．

【解答】（1）证明：连接OA，

∵AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，

∴OA＝OB，OA＝OC，

∴OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上：

（2）解：延长AO交BC于D，

∵AB＝AC＝10，

∴A点在BC的垂直平分线上，

∵点O在BC的垂直平分线上，

∴AO垂直平分BC，

∵BC＝12，

∴BD＝CD＝6，

∴AD＝，

∴OD＝8﹣AO，

在Rt△BDO中，BO2＝BD2+OD2，

∴OA2＝62+（8﹣AO）2，

解得OA＝，

故答案为：．

22．（2021秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．

（1）若AB＝12cm，求△MCN的周长；

（2）若∠ACB＝118°，求∠MCN的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出AM＝CM，BN＝CN，再求出△MCN的周长＝AB，再代入求出答案即可；

（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝62°，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，求出∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝62°，再求出答案即可．

【解析】（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，

∴AM＝CM，BN＝CN，

∵AB＝12cm，

∴△MCN的周长是CM+MN+CN

＝AM+MN+BN

＝AB

＝12cm；

（2）∵∠ACB＝118°，

∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝62°，

∵AM＝CM，BN＝CN，

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，

∴∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝62°，

∵∠ACB＝118°，

∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．

23．（2021秋•靖江市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．

（1）试说明AD垂直平分EF；

（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长．

【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE＝DF，利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论；

（2）根据三角形的面积公式即可求得DE的长．

【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE＝AF，

而DE＝DF，

∴AD垂直平分EF；

（2）∵DE＝DF，

∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•ED+AC•DF＝DE（AB+AC）＝15，

∵AB＝6，AC＝4，

∴×10×DE＝15，

∴DE＝3．

24．（2021秋•虎丘区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．

（1）求证：PE＝PF；

（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．

【分析】（1）过点P作PD⊥BC于D，可得PD＝PE＝PF；

（2）可得AP是∠BAC的平分线，则∠EAP可求出．

【解析】（1）过点P作PD⊥BC于D，

∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，

∴PD＝PE，PD＝PF，

∴PE＝PF；

（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，

∴AP平分∠BAC，

∵∠BAC＝60°，

∴∠EAP＝＝30°．