湖南省常德市鼎城区2021-2022学年中考数学仿真试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．4的平方根是（ ）

A．16 B．2 C．±2 D．±

2．计算﹣8+3的结果是（　　）

A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11

3．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（　　）

A．0.5×10﹣9米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米

4．已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（　　）

A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2

5．已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（　　）

A．k＞8 B．k≥8 C．k≤8 D．k＜8

6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．

7．计算(－ab2)3÷(－ab)2的结果是(　　)

A．ab4    B．－ab4    C．ab3    D．－ab3

8．如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=2，以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到，则四边形的周长为（      ）

A．8 B．10 C．12 D．16

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为（　　）

A．5 B．4 C．7 D．5

11．在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（    ）

A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5

12．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（     ）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=48°，则∠ACB′=_____．

14．如图，AB=AC，AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠DAC=__________．

15．不等式组的解集为____．

16．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，若⊙O的半径是5，CD＝8，则AE＝______．

17．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x2﹣2x+1＝﹣x2+5x﹣3：则所捂住的多项式是___．

18．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为__．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．

（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；

（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．

20．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

21．（6分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．

(1)求证：CD与⊙O相切；

(2)若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．

22．（8分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：

本次调查人数共       人，使用过共享单车的有       人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？

23．（8分）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．求m的取值范围；若m为正整数，求此方程的根．

24．（10分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G，求证：点G在BD上．

25．（10分）如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O上，且∠CAB=30°．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为　   　时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为　      　时，四边形ADCB为矩形．

26．（12分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．

27．（12分）张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝和x＝﹣时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】

试题解析：∵（±2）2=4，

∴4的平方根是±2，

故选C．

考点：平方根.

2、B

【解析】
绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．依此即可求解．

【详解】

解：−8＋3＝−2．

故选B．

【点睛】

考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有1．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．

3、D

【解析】

解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10﹣10米．

故选D．

点睛:在负指数科学计数法 中，其中 ，n等于第一个非0数字前所有0的个数（包括下数点前面的0）.

4、D

【解析】
直线不经过第三象限，则经过第二、四象限或第一、二、四象限，当经过第二、四象限时，函数为正比例函数，k=0

当经过第一、二、四象限时， ,解得0<k<2，

综上所述，0≤k<2。故选D

5、A

【解析】
本题考查反比例函数的图象和性质，由k-8＞0即可解得答案．

【详解】

∵反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，

∴k-8＞0，

解得k＞8，

故选A．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

6、A

【解析】
利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．

【详解】

解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴AB∥CD∥EF

∴△ABE∽△DCE，

∴，故选项B正确，

∵EF∥AB，

∴，

∴，故选项C，D正确，

故选：A．

【点睛】

考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7、B

【解析】

根据积的乘方的运算法则，先分别计算积的乘方，然后再根据单项式除法法则进行计算即可得，

(-ab2)3÷(-ab)2

=-a3b6÷a2b2

=-ab4，

故选B.

8、B

【解析】
先利用三角函数求出∠BAE=45°，则BE=AB=，∠DAE=45°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD进行计算即可．

【详解】

解：∵AE=AD=2，而AB=，∴cos∠BAE==，∴∠BAE=45°，∴BE=AB=，∠BEA=45°．

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA=45°，∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD=2×﹣××﹣=2﹣1﹣．

故选B．

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算．阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

9、B

【解析】

根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．

根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．
故选C．

“点睛”本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．

10、C

【解析】
连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．

【详解】

解：连接AE，

∵AC=3，cos∠CAB=，

∴AB=3AC=9，

由勾股定理得，BC==6，

∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD=AB=，

S△ABC=×3×6=9，

∵点D为AB的中点，

∴S△ACD=S△ABC=，

由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9，AE⊥CD，

则×CD×AE=9，

解得，AE=4，

∴AF=2，

由勾股定理得，DF==，

∵AF=FE，AD=DB，

∴BE=2DF=7，

故选C．

【点睛】

本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

11、D

【解析】
先利用勾股定理计算出OP=1，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．

【详解】

∵点P的坐标为（3，4），∴OP1．

∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞1．

故选D．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

12、B

【解析】

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，

过A作AD⊥BC于D，则BD=12，

在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，

AD=，

故tanB=.

故选B．

【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、6°

【解析】

∠B=48°，∠ACB=90°，所以∠A=42°，DC是中线，所以∠BCD=∠B=48°，

∠DCA=∠A=48°，因为∠BCD=∠DCB’=48°，所以∠ACB′=48°-46°=6°.

14、50°

【解析】
根据等腰三角形顶角度数，可求出每个底角，然后根据两直线平行，内错角相等解答．

【详解】

解：∵AB=AC，∠BAC=80°，

∴∠B=∠C=（180°﹣80°）÷2=50°；

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠C=50°，

故答案为50°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．

15、x>1

【解析】
分别解出两不等式的解集再求其公共解．

【详解】

由①得：x＞1
由②得：x＞

∴不等式组的解集是x＞1．

【点睛】

求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了．

16、2

【解析】
连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,在直角△OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可

【详解】

设AE为x，

连接OC，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8，

∴∠CEO＝90°，CE＝DE＝4，

由勾股定理得：OC2＝CE2＋OE2，

52＝42＋（5－x）2，

解得：x＝2，

则AE是2，

故答案为：2

【点睛】

此题考查垂径定理和勾股定理，,解题的关键是利用勾股定理求关于半径的方程.

17、x2+7x-4

【解析】
设他所捂的多项式为A，则接下来利用去括号法则对其进行去括号，然后合并同类项即可.

【详解】

解：设他所捂的多项式为A，则根据题目信息可得

他所捂的多项式为

故答案为

【点睛】

本题是一道关于整数加减运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握整数的加减运算；

18、

【解析】
设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-50）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．

【详解】

设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-50）千米/时，

根据题意得．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）详见解析；（2）（，1）．

【解析】
（1）根据勾股定理可得AB的长，即⊙M的直径，根据同弧所对的圆周角可得BD平分∠ABO；

（2）作辅助构建切线AE，根据特殊的三角函数值可得∠OAB=30°，分别计算EF和AF的长，可得点E的坐标．

【详解】

（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣1），

∴OA=，OB=1，

∴AB==2，

∵AB是⊙M的直径，

∴⊙M的直径为2，

∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，

∴∠CBO=∠CBA，

即BD平分∠ABO；

（2）如图，过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线，

∵在Rt△ACB中，tan∠OAB=，

∴∠OAB=30°，

∵∠ABO=90°，

∴∠OBA=60°，

∴∠ABC=∠OBC==30°，

∴OC=OB•tan30°=1×，

∴AC=OA﹣OC=，

∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，

∴∠EAC=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE=AC=，

∴AF=AE=，EF==1，

∴OF=OA﹣AF=，

∴点E的坐标为（，1）．

【点睛】

此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

20、不等式组的解是x≥3;图见解析

【解析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【详解】

解：

∵解不等式①，得x≥3，

解不等式②，得x≥－1.5，

∴不等式组的解是x≥3，

在数轴上表示为：

．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

21、（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）过点O作OG⊥DC，垂足为G．先证明∠OAD=90°，从而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO，则OA=OG=r，则DC是⊙O的切线；
（2）连接OF，依据垂径定理可知BE=EF=1，在Rt△OEF中，依据勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的长，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求解即可．

试题解析：

(1)证明：

过点O作OG⊥DC，垂足为G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，
∴OA⊥AD．
∴∠OAD=∠OGD=90°．
在△ADO和△GDO中

，
∴△ADO≌△GDO．
∴OA=OG．
∴DC是⊙O的切线．
（2）如图所示：连接OF．

∵OA⊥BC，
∴BE=EF= BF=1．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=1，

∴OF=，

∴AE=OA+OE=13+5=2．
∴tan∠ABC＝.

【点睛】本题主要考查的是切线的判定、垂径定理、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

22、（1）200，90     （2）图形见解析（3）750人

【解析】

试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.

试题解析：

（1）20÷10%=200，

200×（1-45%-10%）=90 ；   

（2）90-25-10-5=50，

补全条形统计图   

（3）=750(人)

答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人

23、（1）且；（2），．

【解析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．

【详解】

（1）∵

．

解得且．

（2）∵为正整数，

∴．

∴原方程为．

解得，．

【点睛】

考查一元二次方程根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，方程有两个相等的实数根.

当时，方程没有实数根.

24、见解析

【解析】
先连接AC，根据菱形性质证明△EAC≌△FCA,然后结合中垂线的性质即可证明点G在BD上.

【详解】

证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC,BD与AC互相垂直平分，

∴∠EAC=∠FCA.

∵AE=CF,AC=CA, ∴△EAC≌△FCA,

∴∠ECA=∠FAC, ∴GA=GC,

∴点G在AC的中垂线上，

∴点G在BD上.

【点睛】

此题重点考察学生对菱形性质的理解，掌握菱形性质和三角形全等证明方法是解题的关键.

25、（1）证明见解析（2）cm，cm

【解析】

【分析】（1）连接OB，要证明PB是切线，只需证明OB⊥PB即可；

（2）利用菱形、矩形的性质，求出圆心角∠COD即可解决问题.

【详解】（1）如图连接OB、BC，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OC，∵PC=OA=OC，

∴BC=CO=CP，

∴∠PBO=90°，

∴OB⊥PB，

∴PB是⊙O的切线；

（2）①的长为cm时，四边形ADPB是菱形，

∵四边形ADPB是菱形，∠ADB=△ACB=60°，

∴∠COD=2∠CAD=60°，

∴的长=cm；

②当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD=120°，

∴的长=cm，

故答案为：cm， cm.

【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到切线的判定、矩形的性质、菱形的性质、弧长公式等知识，准确添加辅助线、灵活应用相关知识解决问题是关键.

26、 (1)见解析；（2）2

【解析】
(1) 方法一: 连接AC, 利用角平分线判定定理, 证明DA=DC即可;

方法二: 只要证明△AEB≌△AFD. 可得AB=AD即可解决问题；

(2) 在Rt△ACF, 根据AF=CF·tan∠ACF计算即可.

【详解】

（1）证法一：连接AC，如图．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，

∴∠ACF=∠ACE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAC=∠ACB．

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴四边形ABCD是菱形．

证法二：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

又∵AE=AF，

∴△AEB≌△AFD．

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）连接AC，如图．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，

∴∠ECF=120°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ACF=60°，

在Rt△CFA中，AF=CF•tan∠ACF=2．

【点睛】

本题主要考查三角形的性质及三角函数的相关知识，充分利用已知条件灵活运用各种方法求解可得到答案。

27、小亮说的对,理由见解析

【解析】
先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解.

【详解】

2（x+1）2﹣（4x﹣5）

=2x2+4x+2﹣4x+5，

=2x2+7，

当x=时，原式=+7=7；

当x=﹣时，原式=+7=7．

故小亮说的对．

【点睛】

本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法.