湖北省宜昌市猇亭区长江中学2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷（含答案）

这是一份湖北省宜昌市猇亭区长江中学2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，四象限内，则的值不可能是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省宜昌市猇亭区长江中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（共11小题，每小题3分，共计33分）
1．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．且
2．（3分）下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）已知直角三角形的两边长分别是 5 和 12 ，则第三边为　　
A ． 13 B ． C ． 13 或 D ． 不能确定
4．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
5．（3分）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处．若，，则的长为　　

A． B．3 C．1 D．
6．（3分）如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为、．则线段的最小值为　　

A． B． C． D．
7．（3分）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如表，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为　　
锻炼时间
5
6
7
8
人数
6
15
10
4
A．， B．， C．， D．，
8．（3分）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，则的值不可能是　　
A．3 B．1 C．0 D．
9．（3分）函数与在同一坐标系内的图象可能是　　
A． B．
C． D．
10．（3分）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是　　
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
11．（3分）已知，是方程的两根，则的值为　　
A．5 B．10 C．11 D．13
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
12．（3分）设函数与的图象的两个交点的横坐标为、，则　 　．
13．（3分）一组数据：1，2，3，4，5，的众数是3，则这组数据的方差是　　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，若为等腰三角形，则点的坐标为　　．
15．（3分）已知一次函数的图象经过一，二，四象限，且当时，，则的值是　　．
三、解答题（共9小题，计75分）
16．（6分）计算：
（1）；
（2）解方程：．
17．（6分）学完勾股定理之后，802班同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度，爱动脑筋的小王设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆顶端，绳子末端刚好垂直接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你帮忙算出旗杆的高度．

18．（7分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．
序号
1
2
3
笔试成绩分
90
92
84
面试成绩分
85
88
86
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
19．（7分）如图，若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．

20．（8分）平行四边形中，垂直于，且，交于点．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．

21．（8分）在中，，为的中点，为线段上的一点．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）如图2，若且为中点，求证：；
（3）若，试探究、、的数量关系，并证明．

22．（10分）每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元本，乙款笔记本的进价是4元本，丙款笔记本的进价是6元本．
（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？
（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元本、6元本和10元本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元，甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降，丙款笔记本每天的销售量将上升，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求的值．
23．（11分）如图为正方形中，点、在直线上，连接，并延长交、于点、，连接．
（1）如图1，若，都在线段上，且，求；
（2）如图2，当点在线段延长线上时，，（1）中的度数不变，判断，，之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若点在的延长线上，在的延长线上，且，，，求．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为10．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）如图1，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
（3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年湖北省宜昌市猇亭区长江中学九年级（上）入学数学试卷（解析版）
一、选择题（共11小题，每小题3分，共计33分）
1．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．且
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
2．（3分）下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】分别根据算术平方根和立方根的概念判断各选项即可．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，，故本选项错误．
故选：．
3．（3分）已知直角三角形的两边长分别是 5 和 12 ，则第三边为　　
A ． 13 B ． C ． 13 或 D ． 不能确定
【分析】本题已知直角三角形的两边长， 但未明确这两条边是直角边还是斜边， 所以求第三边的长必须分类讨论， 即 12 是斜边或直角边的两种情况， 然后利用勾股定理求解 ．
【解答】解： 当 12 是斜边时， 第三边长；
当 12 是直角边时， 第三边长；
故第三边的长为：或 13 ．
故选：．
4．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
、，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：．
5．（3分）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处．若，，则的长为　　

A． B．3 C．1 D．
【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得△，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
【解答】解：，，
，
，
根据折叠可得：△，
，，
设，则，，，
在中：，
，
解得：，
故选：．
6．（3分）如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为、．则线段的最小值为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，判断出四边形是矩形，再根据矩形的对角线相等可得，然后根据垂线段最短可得时线段的长最小，进而解答即可．
【解答】解：如图，连接，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时线段的长最小，
，，
，
四边形是矩形，
，
故选：．
7．（3分）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如表，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为　　
锻炼时间
5
6
7
8
人数
6
15
10
4
A．， B．， C．， D．，
【分析】直接利用中位数和众数的概念求解可得．
【解答】解：这组数据的中位数为第18个数据，即中位数为；6出现次数最多，众数为．
故选：．
8．（3分）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，则的值不可能是　　
A．3 B．1 C．0 D．
【分析】根据此图象位于二、四象限，则根据求解．
【解答】解：反比例函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的图象和性质，，
则，
所以的值不可能为3．
故选：．
9．（3分）函数与在同一坐标系内的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据当、当时，和经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：当时，过一、三、四象限，反比例函数过一、三象限，
当时，过二、三、四象限，反比例函数过二、四象限，
正确；
故选：．
10．（3分）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是　　
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
11．（3分）已知，是方程的两根，则的值为　　
A．5 B．10 C．11 D．13
【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
12．（3分）设函数与的图象的两个交点的横坐标为、，则　　．
【分析】联立两函数解析式，消掉，得到关于的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解即可．解关于、的二元一次方程组求出、的值，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：联立消掉得，，
两个交点的横坐标为、，
，，
．
故答案为：．
13．（3分）一组数据：1，2，3，4，5，的众数是3，则这组数据的方差是　　．
【分析】先根据众数的概念得出的值，再求出这组数据的平均数，最后利用方差公式计算可得．
【解答】解：数据：1，2，3，4，5，的众数是3，
，
则这组数据为1，2，3，3，4，5，
所以这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为，
故答案为：．
14．（3分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，若为等腰三角形，则点的坐标为　或　．
【分析】由直线解析式求得、的坐标，由点，的坐标可求出的长，分、种情况讨论求得即可．
【解答】解：直线与轴、轴交于点、，则点的坐标为，点的坐标为，
．
分两种情况考虑，如图所示．
①当时，，
点的坐标为；
②当时，，，
，
点的坐标为．
点的坐标为为或，
故答案为：或．

15．（3分）已知一次函数的图象经过一，二，四象限，且当时，，则的值是　　．
【分析】利用一次函数的性质得到，则判断时，；时，，然后根据待定系数法求得、的值，即可求得的值．
【解答】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，
函数随的增大而减小，
当时，，
当时，；
当时，，
，解得，
，
故答案为．
三、解答题（共9小题，计75分）
16．（6分）计算：
（1）；
（2）解方程：．
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）原式


；
（2）方程化为，
△，
，
所以，．
17．（6分）学完勾股定理之后，802班同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度，爱动脑筋的小王设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆顶端，绳子末端刚好垂直接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你帮忙算出旗杆的高度．

【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
【解答】解：设旗杆高度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
答：旗杆的高度为13米．

18．（7分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．
序号
1
2
3
笔试成绩分
90
92
84
面试成绩分
85
88
86
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
【分析】（1）设出笔试成绩和面试成绩的比，利用加权平均数的计算方法，列方程求出这个比，进而得出百分比，
（2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，原来加权平均数的计算方法计算出2号选手，3号选手的综合成绩，比较得出排名．
【解答】解：（1）设笔试成绩和面试成绩的比，由题意得：
，解得：，，
因此笔试成绩与面试成绩的比是，
答：笔试成绩占，面试成绩占，
（2）2号选手的综合成绩为：，
3号选手的综合成绩为：，

号选手第一，1号选手第二，3号选手第三，
答：根据综合成绩排名第一名2号选手，第二名1号选手，第三名3号选手．
19．（7分）如图，若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．

【分析】（1）利用待定系数法求出点坐标即可解决问题．
（2）构建方程组求出交点坐标，直线交轴于，根据计算即可．
【解答】解：（1）在直线上，
，
，
把代入得到，
反比例函数的解析式为．

（2）由，解得或，
，
直线交轴于，
．

20．（8分）平行四边形中，垂直于，且，交于点．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．

【分析】（1）由“平行四边形的对角相等”推知，则通过解直角得到的长度，所以；
（2）如图，延长至点，使．构建全等三角形：，由全等三角形的性质和平行四边形的对边相等得到、．然后结合三角形外角的性质易证，则．所以结合图形知，则．
【解答】解：（1）如图，在平行四边形中，．
垂直于，
，
．
又，
，
；

（2）如图，延长至点，使．
在与中，
，
，
，．
．
又，
，
，即，
．
又，
．

21．（8分）在中，，为的中点，为线段上的一点．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）如图2，若且为中点，求证：；
（3）若，试探究、、的数量关系，并证明．

【分析】（1）过点作交于，因为为的中点，所以为的中点，则为的中位线，在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）连接，取中点，再连接、．因为为中点，为中点，所以且，且，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，即：；
（3），在上截取，连接，作，易证，由已知可得，得，证，得，结论可得．
【解答】（1）证明：过点作交于，（如图
为的中点，
为的中点，
为的中位线，
，
，，
，
在中，；

（2）证明：连接，取中点，再连接、．（如图
为中点，为中点，
且，且，
，
，
又，
，
，
，
，
，
即：；

（3）答：，（如图
证明：在上截取，连接，作，
，，
，
，
，
，

，易证，
，
．


22．（10分）每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元本，乙款笔记本的进价是4元本，丙款笔记本的进价是6元本．
（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？
（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元本、6元本和10元本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售价提高元，甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降，丙款笔记本每天的销售量将上升，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求的值．
【分析】（1）根据甲乙丙三款笔记本的进价与数量的乘积等于总花费即可列方程求解；
（2）根据售价进价利润即可列方程求解．
【解答】解：（1）设乙款笔记本的数量为本，
则甲款本，丙款本，根据题意，得

解得，
．
答：本次购进丙款笔记本230本．
（2）根据题意，得

整理得
解得，（不符合题意，舍去）
答：的值为50．
23．（11分）如图为正方形中，点、在直线上，连接，并延长交、于点、，连接．
（1）如图1，若，都在线段上，且，求；
（2）如图2，当点在线段延长线上时，，（1）中的度数不变，判断，，之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若点在的延长线上，在的延长线上，且，，，求．

【分析】（1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据证明，从而可得，所以是等腰直角三角形，可得结论；
（2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，由全等三角形的性质可得，，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，，之间的数量关系；
（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，证明和，得，设，则，根据勾股定理列方程可求的长．
【解答】解：（1）如图1，过作，交于，交于，

四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，

，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2），
理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，


，，，


，


，
，且，

，
在中，，
，
（3）如图3，过作，且，连接、、，


，

，
，且，
，
，，
，
，，
，
，
，

设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为10．
（1）求点的坐标及直线的解析式；
（2）如图1，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
（3）如图2，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求得答案；
（2）根据等腰三角形的性质可得，设，分两种情况：①当时，②当时，分别得到答案；
（3）设，利用三角形的面积和差关系可得答案．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
，
直线的解析式为；
（2），，，
，设，
①当时，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为、，

，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
点在直线上，
，
，
，
②当时，同法可得，

点在直线上，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为，；
（3）存在，

设，
，
，
，，
直线的解析式为，
作交直线于，此时，，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，，，，根据对称性可得点关于点的对称点，也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，，，．