2022-2023学年湖北省宜昌市猇亭区长江中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省宜昌市猇亭区长江中学九年级（上）入学数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限内，则k的值不可能是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省宜昌市猇亭区长江中学九年级（上）入学数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共11小题，共33分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 且下列式子正确的是(    )A.  B.
C.  D. 已知直角三角形的两边长分别是和，则第三边为(    )A.  B.  C. 或 D. 不能确定下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处．若，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为、则线段的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了名学生，调查结果列表如表，则这名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为(    )锻炼时间人数A. ， B. ， C. ， D. ，已知反比例函数的图象在第二、四象限内，则的值不可能是(    )A.  B.  C.  D. 函数与在同一坐标系内的图象可能是(    )A.  B.  C.  D. 已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关已知，是方程的两根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12分）设函数与的图象的两个交点的横坐标为、，则 ______ ．一组数据：，，，，，的众数是，则这组数据的方差是______．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，若为等腰三角形，则点的坐标为______ ．已知一次函数的图象经过一，二，四象限，且当时，，则的值是______． 三、解答题（本大题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：
；
解方程：．本小题分
学完勾股定理之后，班同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度，爱动脑筋的小王设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆顶端，绳子末端刚好垂直接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面请你帮忙算出旗杆的高度．
本小题分
某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为分．前名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩综合成绩的满分仍为分，现得知号选手的综合成绩为分．序号笔试成绩分面试成绩分求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．本小题分
如图，若一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，
求反比例函数的解析式；
求的面积．
本小题分
平行四边形中，垂直于，且，交于点．
若，，求的长；
求证：．
本小题分
在中，，为的中点，为线段上的一点．
如图，若，，，，求的长；
如图，若且为中点，求证：；
若，试探究、、的数量关系，并证明．
 
本小题分
每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共本，已知甲款笔记本的进价为元本，乙款笔记本的进价是元本，丙款笔记本的进价是元本．
本次进货共花费元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？
经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为元本、元本和元本时，每天可分别售出甲款笔记本本，乙款笔记本本和丙款笔记本本．如果将乙款笔记本的零售价提高元，甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降，丙款笔记本每天的销售量将上升，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利元，求的值．本小题分
如图为正方形中，点、在直线上，连接，并延长交、于点、，连接．
如图，若，都在线段上，且，求；
如图，当点在线段延长线上时，，中的度数不变，判断，，之间的数量关系并证明；
如图，若点在的延长线上，在的延长线上，且，，，求．
 
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为．
求点的坐标及直线的解析式；
如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查算术平方根和立方根的概念，属于基础题．
分别根据算术平方根和立方根的概念判断各选项即可．
【解答】
解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，，故本选项错误．
故选C．  3.【答案】 【解析】解：当是斜边时，第三边长；
当是直角边时，第三边长；
故第三边的长为：或．
故选：．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
 4.【答案】 【解析】【分析】根据“三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形”逐一对选项作出判断即可得出结果．
本题考查了勾股定理的逆定理有关知识，解题的关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理．【解答】解：．，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B.，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C.，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D.，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选C．  5.【答案】 【解析】解：，，
，
，
根据折叠可得：，
，，
设，则，，，
在中：，
，
解得：，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得≌，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 6.【答案】 【解析】【分析】
连接，判断出四边形是矩形，再根据矩形的对角线相等可得，然后根据垂线段最短可得时线段的长最小，进而解答即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟记性质与判定方法并确定出最短时的位置是解题的关键．
【解答】

解：如图，连接，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时线段的长最小，
，，
，
四边形是矩形，
，
故选：．  7.【答案】 【解析】解：这组数据的中位数为第个数据，即中位数为；出现次数最多，众数为．
故选：．
直接利用中位数和众数的概念求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
 8.【答案】 【解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的图象和性质，，
则，
所以的值不可能为．
故选：．
根据此图象位于二、四象限，则根据求解．
本题考查了反比例函数的性质：、当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
、当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
 9.【答案】 【解析】解：当时，过一、三、四象限，反比例函数过一、三象限，
当时，过二、三、四象限，反比例函数过二、四象限，
B正确；
故选B．
根据当、当时，和经过的象限，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】
解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：根据题意得，，
所以．
故选：．  12.【答案】 【解析】解：联立消掉得，，
两个交点的横坐标为、，
，，
．
故答案为：．
联立两函数解析式，消掉，得到关于的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解即可．解关于、的二元一次方程组求出、的值，然后代入进行计算即可得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立两函数解析式得到关于的一元二次方程是解题的关键，利用根与系数的关系式求解要不求出、的值更加简便．
 13.【答案】 【解析】解：数据：，，，，，的众数是，
，
则这组数据为，，，，，，
所以这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为，
故答案为：．
先根据众数的概念得出的值，再求出这组数据的平均数，最后利用方差公式计算可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式：可简单记忆为“方差等于差方的平均数”．
 14.【答案】或 【解析】解：直线与轴、轴交于点、，则点的坐标为，点的坐标为，
．
分两种情况考虑，如图所示．
当时，，
点的坐标为；
当时，，，
，
点的坐标为．
点的坐标为为或，
故答案为：或．
由直线解析式求得、的坐标，由点，的坐标可求出的长，分、种情况讨论求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，
函数随的增大而减小，
当时，，
当时，；
当时，，
，解得，
，
故答案为．
利用一次函数的性质得到，则判断时，；时，，然后根据待定系数法求得、的值，即可求得的值．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出当时，；当时，是解题的关键．
 16.【答案】解：原式


；
方程化为，
，
，
所以，． 【解析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了二次根式的混合运算．
 17.【答案】解：设旗杆高度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
答：旗杆的高度为米． 【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
 18.【答案】解：设笔试成绩和面试成绩的比：，由题意得：
，解得：，，
因此笔试成绩与面试成绩的比是：，
答：笔试成绩占，面试成绩占，
号选手的综合成绩为：，
号选手的综合成绩为：，

号选手第一，号选手第二，号选手第三，
答：根据综合成绩排名第一名号选手，第二名号选手，第三名号选手． 【解析】设出笔试成绩和面试成绩的比，利用加权平均数的计算方法，列方程求出这个比，进而得出百分比，
根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，原来加权平均数的计算方法计算出号选手，号选手的综合成绩，比较得出排名．
考查加权平均数的计算方法，理解“权”对平均数的影响是解决问题的关键，掌握计算方法是前提．
 19.【答案】解：在直线上，
，
，
把代入得到，
反比例函数的解析式为．

由，解得或，
，
直线交轴于，
． 【解析】利用待定系数法求出点坐标即可解决问题．
构建方程组求出交点坐标，直线交轴于，根据计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用分割法求三角形的面积．
 20.【答案】解：如图，在平行四边形中，．
垂直于，
，
．
又，
，
；

如图，延长至点，使．
在与中，
，
≌，
，．
．
又，
，
，即，
．
又，
． 【解析】由“平行四边形的对角相等”推知，则通过解直角得到的长度，所以；
如图，延长至点，使构建全等三角形：≌，由全等三角形的性质和平行四边形的对边相等得到、然后结合三角形外角的性质易证，则所以结合图形知，则．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定推知是解题的难点．
 21.【答案】证明：过点作交于，如图
为的中点，
为的中点，
为的中位线，
，
，，
，
在中，；

证明：连接，取中点，再连接、如图
为中点，为中点，
且，且，
，
，
又，
，
，
，
，
，
即：；

答：，如图
证明：在上截取，连接，作，
，，
，
，
，
，

，易证≌，
，
． 【解析】过点作交于，因为为的中点，所以为的中点，则为的中位线，在中利用勾股定理即可求出的长；
连接，取中点，再连接、因为为中点，为中点，所以且，且，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，即：；
，在上截取，连接，作，易证，由已知可得，得，证≌，得，结论可得．
本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理和外角和定理，解题的关键是截取线段相等，各种全等三角形，题目的难度不小．
 22.【答案】解：设乙款笔记本的数量为本，
则甲款本，丙款本，根据题意，得

解得，
．
答：本次购进丙款笔记本本．
根据题意，得

整理得
解得，不符合题意，舍去
答：的值为． 【解析】根据甲乙丙三款笔记本的进价与数量的乘积等于总花费即可列方程求解；
根据售价进价利润即可列方程求解．
本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系．
 23.【答案】解：如图，过作，交于，交于，

四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
，
理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，

≌
，，，

，

，
，且，
≌
，
在中，，
，
如图，过作，且，连接、、，


，

，
，且，
≌，
，，
，
，，
，
，
≌，

设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：
 【解析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线是本题的关键．
如图，作辅助线，构建全等三角形，根据证明≌，从而可得，所以是等腰直角三角形，可得结论；
将绕点逆时针旋转，得到，连接，由全等三角形的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，由勾股定理可得，，之间的数量关系；
如图，作辅助线，构建三角形全等，证明≌和≌，得，设，则，根据勾股定理列方程可求的长．
 24.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
，
直线的解析式为；
，，，
，设，
当时，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为、，

，，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
点在直线上，
，
，
，
当时，同法可得，

点在直线上，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为，；
存在，

设，
，
，
，
直线的解析式为，
作交直线于，此时，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，，根据对称性可得点关于点的对称点也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，． 【解析】利用待定系数法可求得答案；
根据等腰三角形的性质可得，设，分两种情况：当时，当时，分别得到答案；
设，利用三角形的面积和差关系可得答案．
此题考查的是一次函数的综合题，正确作出辅助线、进行分类讨论是解决此题的关键．