专题32：导数综合应用-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

专题32：导数综合应用

精讲温故知新

题型一：利用导数证明不等式

例1：（2022·全国·高考真题（理））已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

题型二：利用导数研究不等式恒成立问题

例2：（2020·海南·高考真题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

题型三：利用导数研究能成立问题

例3：（2021·天津·高考真题）已知，函数．

（I）求曲线在点处的切线方程：

（II）证明存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．

题型四：利用导数研究函数的零点

例4：（2022·全国·高考真题（文））已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

题型五：利用导数研究能方程的根

例5：（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

题型六：利用导数研究函数的图像和性质

例6：（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A． B．

C． D．

题型七：利用导数研究双变量问题

例7：（2022·浙江·高考真题）设函数．

(1)求的单调区间；

(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：

（ⅰ）若，则；

（ⅱ）若，则．

（注：是自然对数的底数）

题型八：利用导数解决实际问题

例8：（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

题型九：导数新定义

例9：（2022·青海西宁·二模（理））定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

题型十：导数极值点偏移问题

例10：

（2021·全国·高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

精练巩固提升

一、单选题

1．（2014·湖南·高考真题（文））若，则                                 (　   　)

A． B．

C． D．

2．（2012·天津·高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2013·安徽·高考真题（理））若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是

A．3 B．4

C．5 D．6

4．（2010·山东·高考真题（文））已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

A．13万件 B．11万件

C．9万件 D．7万件

5．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））“”是“在上恒成立”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

7．（2017·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

8．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．（2022·重庆南开中学模拟预测）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．

10．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.

三、解答题

11．（2022·北京·高考真题）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

12．（2022·全国·高考真题）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．