2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潘田中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

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2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潘田中学九年级（上）开学数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若分式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 内角为的正多边形是(    )A.  B.
C.  D. 已知，则的值等于(    )A.  B.  C.  D. 如图，中，，，，分别平分，，过点作直线平行于，交，于，，则的周长为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，▱中，，，，则，两点间的距离是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在▱中，对角线与相交于点，是边的中点，连接，若，，则(    )
A.  B.  C.  D. 如图，已知每个小方格的边长为，，两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，在平行四边形中，是的中点，则下列四个结论：
；
若，，则；
若，则；
若，则与全等．
其中正确结论的个数为(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接则在点运动过程中，线段长度的最小值是(    )A.
B.
C.
D. 如图，是正方形场地，点在的延长线上，与相交于点有甲、乙、丙三名同学同时从点出发，甲沿着的路径行走至，乙沿着的路径行走至，丙沿着的路径行走至若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序由先至后是(    )
 A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共7小题，共28分）因式分解：______．小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比骑车的速度慢如果他骑车从城到城，再步行返回城共需要两小时，那么小王跑步从城到城需要______ 分钟．如图，的平分线与的垂直平分线相交于，过作于，作于，若，，则______．
如图，在四边形中，，连接，若，，，则______
 在，，，是的中点，关于的斜边的对称点，，则的长为______．如图，已知▱中，，依据尺规作图的痕迹，则______．
 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：
 本小题分
求代数式的值，其中．本小题分
计算：．
解方程．本小题分
如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度运动；已知，设动点，的运动时间为．
当点在射线上运动时满足：：，试求点，的运动时间的值；
当动点在直线上运动，在射线运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
 
本小题分
画出关于直线的对称．
 
本小题分
肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买只普通医用口罩和只口罩的费用是元；购买只普通医用口罩和只口罩的费用也是元．
求该超市普通医用口罩和口罩的单价；
若准备在该超市购买两种口罩共只，且口罩不少于总数的，试通过计算说明，在预算不超过元的情况下有哪些购买方案．本小题分
郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买、两种奖品以鼓励抢答者．如果购买种件，种件，共需元；如果购买种件，种件，共需元．
、两种奖品每件各多少元？
现要购买、两种奖品共件，总费用不超过元，那么种奖品最多购买多少件？本小题分
已知：平行四边形中连接，，过点作，垂足为，延长与相交于点．
 如图，若，，求线段的长．如图，若，过点作于点，连接，，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得，，
解得．
故选D．
根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
 2.【答案】 【解析】解：外角是：度，
，则这个多边形是正五边形，
故选：．
根据正多边形的外角和即可得到结论．
此题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 3.【答案】 【解析】解：，且，
，
，
故选：．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算和化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 4.【答案】 【解析】解：，
，，
中，和的平分线相交于点，
，，
，，
，，
，，
的周长为：．
故选：．
根据平行线的性质得到，，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，，于是得到，，即可得到结果．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得与是等腰三角形是解此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：过作，
▱中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
连接，
在中，，
故选：．
过作，利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 6.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数．
【解答】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有个，
当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有个；
这样的顶点有个．

故选A．
   8.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故正确；
若，，
则平行四边形为矩形，
，
在和中，

≌，
，
故正确；
过点作，交于，过点作，交于，

由易得四边形是平行四边形，为中点，
，
又，，，
，
故正确；
，，
，
又
四边形是等腰梯形或平行四边形，
如果四边形是等腰梯形，
，
在和中，

≌，
，
在和中，
，
≌，
如果四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到≌，
故正确．
正确的个数是个，
故选：．
根据平行四边形的性质，证明≌，从而判断正确；若，，则平行四边形为矩形，通过证明≌可以判断；过点作，交于，过点作，交于，通过三角形面积公式可以判断；若，则四边形是等腰梯形或平行四边形，通过证明≌和≌即可判断．
本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，关键是对知识的掌握和运用．
 9.【答案】 【解析】解：如图，取的中点，连接，

旋转角为，
，
又，
，
是等边的对称轴，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
≌，
，
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
此时，，
，
，
故选：．
取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明≌，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
甲行走的距离是；
乙行走的距离是；
丙行走的距离是，
，
，，
，，
甲比丙先到，丙比乙先到，
即顺序是甲丙乙，
故选：．
根据正方形的性质得出，，根据直角三角形得出，，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可．
本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．
 11.【答案】 【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：设骑车速度为，则跑步的速度为，步行的速度为，根据题意列方程得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
跑步的速度为，
小王跑步从城到城需要小时，
小时分钟．
故小王跑步从城到城需要分钟．
故答案为：．
此题可设骑车速度为，则跑步的速度为，步行的速度为，根据骑车从城去城，再步行返回城共需小时列出分式方程解答即可．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即设未知数，根据题意找出等量关系，列出方程，解出分式方程并检验，作答．注意：分式方程的解必须检验．
 13.【答案】 【解析】解：如图，连接．

点在的垂直平分线上，
；
在的平分线上，，，
；
，已知，
≌，
全等三角形的对应边相等．
，，
，
故答案为：．
根据中垂线、角平分线的性质来证明≌，然后根据全等三角形的对应边相等推知再利用勾股定理求解可得．
本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解答此题时是通过作辅助线构建全等三角形≌来证明全等三角形的对应线段．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证出是解题的关键．
作于，于，则，由等腰直角三角形的性质得出，得出，，由直角三角形的性质得出，得出，再由平行线的性质即可得出答案．
【解答】
解：作于，于，如图所示：

则，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：连结，，
，，
，
关于的对称点是，
垂直平分，
，，
又是的中点，
，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
．
连结，，关于的对称点是，进而得到垂直平分，，，设，则，在中，利用勾股定理可得长，进而得到的长．
此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，关键是掌握如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
 16.【答案】 【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为．
依据尺规作图的痕迹，可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得到，利用三角形内角和定理求出，再根据平行四边形的对边平行以及平行线的性质求出．
本题考查了平行四边形的对边平行的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．求出的度数是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，
和为等腰三角形．
由于，在中分两种情形：，．
当时，如下图：

，．
．
为等边三角形．
．
，
．
，
．
当时，如下图，

过点作，过点作，交延长线于点，
，，
．
，，，
四边形为矩形．
．
，
．
在中，，
．
，
．
，
．
，
．
综上，．
故答案为：．
根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：，当时，由于，可得为等边三角形，，则，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，可得，从而可求．
本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键．
 18.【答案】解：原式
；

原式

． 【解析】直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项即可；
直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 20.【答案】解：原式；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 【解析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 21.【答案】解：如图中，

作于，于．
平分，，
当在线段上时，
：：，，，
：：，

当点运动到延长线上，
：：：，
．
综上，当或时，满足：：．
存在．
直线，平分，
，
又，，
，，
当点在射线上时，在线段上，
由，，
当时，≌，
，．
当点在射线的反向延长线上时，在线段的延长线上，
由，，
当时，≌，
，．
综上所述，满足条件的的值为或． 【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
作于，于由平分，推出，由：：，，，可分在线段上和在线段的延长线上两种情况，根据面积关系列方程，解方程即可解决问题．
存在．由，，可知点在射线上时，在线段上，当时，≌，当点在射线的反向延长线上时，在线段的延长线上，当时，≌，列出方程即可解决问题．
 22.【答案】解：如图所示：
 【解析】首先根据对称轴是对称点连线的垂直平分线，分别找到、、三点的对称点、、，再顺次连接即可．
此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握对称轴是对称点连线的垂直平分线．
 23.【答案】解：设普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元，依题意有
，
解得．
故普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元；
设购买普通医用口罩个，则购买口罩个，依题意有：
，
解得．
为整数，所以，，，
购买方案有种：
购买普通医用口罩个，购买口罩个；
购买普通医用口罩个，购买口罩个；
购买普通医用口罩个，购买口罩个． 【解析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出等量关系和不等式关系式即可求解．
设普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元，根据题意列方程组解答即可；
设购买普通医用口罩个，则购买口罩个，根据口罩不少于总数的；预算不超过元；列出不等式组解答即可．
 24.【答案】解：设种奖品每件元，种奖品每件元，
根据题意得：，
解得：．
答：种奖品每件元，种奖品每件元．
设种奖品购买件，则种奖品购买件，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
．
答：种奖品最多购买件． 【解析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，找出关于的一元一次不等式．
设种奖品每件元，种奖品每件元，根据“如果购买种件，种件，共需元；如果购买种件，种件，共需元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设种奖品购买件，则种奖品购买件，根据总价单价购买数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
 25.【答案】解：，
，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
设，，
，，
，
，，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，，，四点共圆，
，，
，，
，
，． 【解析】根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质即可得到结论；
推出是等腰直角三角形，得到，设，根据等腰三角形的性质得到，求得，，推出，，，四点共圆，得到，根据圆周角定理得到，求得，推出，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．