2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，，，，，，请你推测的个位数字是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在数、、、中，任取三个不同数相加，其中和最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 数线上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点，点所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述何者正确？(    )
    

A. 在的左边 B. 介于、之间
C. 介于、之间 D. 介于、之间

5. 已知，若，则(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

6. 九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 有一玻璃密封器皿如图，测得其底面直径为厘米，高厘米，先内装蓝色溶液若干．若如图放置时，测得液面高厘米；若如图放置时，测得液面高厘米；则该玻璃密封器皿总容量为立方厘米．结果保留(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一个池塘的水浮莲，每天都在生长，且每天的面积是前一天的倍，如果天就能把整个池塘遮满，那么水浮莲长到遮住半个池塘需要(    )

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

9. 若，则我们把称为的“哈利数”，如的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，依此类推，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的右上端剪去一个直径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆其直径为前一个被剪去的半圆的半径得到图形、，记纸板的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 已知方程是关于的一元一次方程，则______．
12. 已知，则代数式的值是______ ．
13. 已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为______ ．
14. 某校购新书本，共付元，其中科技书每本元，文艺书每本元，则科技书买了______本，文艺书买了______本．
15. 对于有理数，，规定一种运算：如，则计算______．
16. 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程“．
    例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”请根据上述规定解答下列问题：
    已知关于的一元一次方程是“和解方程”，则的值为______；
    已知关于的一元一次方程是“和解方程“，并且它的解是，则的值为______．
17. 观察下列等式：
    第个等式：；第个等式：；
    第个等式：；第个等式：；
    请解答下列问题：
    按以上规律列出第个等式：______；
    用含有的代数式表示第个等式：______为正整数；

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 某国际化学校实行小班制教学，七年级四个班共有学生人，一班有学生人，二班人数比一班人数的两倍少人，三班人数比二班人数的一半多人．
    求三班的学生人数用含，的式子表示；
    求四班的学生人数用含，的式子表示；
    若四个班共有学生人，求二班比三班多的学生人数？
19. 解下列方程：
     
20. 分别用，，，表示有理数，是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是数轴上到原点距离为的点表示的数，求的倒数．
21. 为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了份考卷进行分析统计，发现考试成绩分的最低分为分，最高分为满分分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．

请根据图表提供的信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
将频数分布直方图补充完整；
该校对考试成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为：：，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

22. 某校七年级共有名学生，团委准备调查他们对“低碳”知识的了解程度，
    在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：
    方案一：调查七年级部分女生；
    方案二：调查七年级部分男生；
    方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生
    请问其中最具有代表性的一个方案是______；
    团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图如图、图所示，请你根据图中信息，将其补充完整；
    请你估计该校七年级约有多少名学生比较了解“低碳”知识．

23. 计算题
     
24. 已知的值与无关，数轴上两点，对应的数分别为，．
    求，的值．
    数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出其对应的数的值，若不存在，请说明理由．
    当点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度也向左运动，若点，同时出发，并在点相遇，求点对应的数．
    若点，保持原来速度从原来的位置相向运动，设运动时间为秒．则当时，求的值．
25. 如图，数轴上线段单位长度，单位长度，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是若线段以个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度秒的速度向左匀速运动．
    
    问运动时间为多少时单位长度？
    当运动到单位长度时，点在数轴上表示的数是______．
    是线段上一点，当点运动到线段上时，是否存在关系式若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
    方法一：设运动时间为秒，分段讨论点的位置，通过取特殊值法反证关系式的存在，从而得到的长．
    方法二：设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为，用含，的式子分别表示出线段，，，分情况讨论点的位置，通过计算求得的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
根据倒数的定义，即可得解．
【解答】
解：的倒数是．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，，，
个位数字分别为、、、依次循环，
，
的个位数字与循环组的第个数的个位数字相同，是，
故选：．
观察不难发现，的个位数字分别为、、、，每个数为一个循环组依次循环，用，根据余数的情况确定答案即可．
本题考查了尾数特征，观察数据发现每个数为一个循环组，个位数字依次循环是解题的关键
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，，，
即和最大是，
故选：．
根据题意求出所有的情况，再比较即可．
本题考查了有理数的大小比较和有理数的加法，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
根据、、、四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【解答】
解：取点表示的数为，
，，，，
，
点介于、之间，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握，此题采用分类讨论的思想，难度不大，属于基础题．
先求出，再分两种情况进行讨论：当的一边在外部时，两角相加；当的一边在内部时，两角相减即可．
【解答】
解：，，
．
分两种情况：

当的一边在外部时，
则；
当的一边在内部时，
则．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：设这个物品的价格是元，
则可列方程为：，
故选：．
根据“物品价格多余的元每人出钱数物品价格少的钱数每人出钱数”可列方程．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该玻璃密封器皿总容量为，
，
解得，，
故选：．
根据圆柱体的体积公式和图和图中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：设第一天池塘的面积为，
第二天的池塘面积为，
第三天的池塘面积为，
如此类推可知：第十二天的池塘面积为：，
半个池塘面积为：
水浮莲长到遮住半个池塘需要天，
故选：．
设第一天池塘的面积为，根据题意可知第二天池塘的面积为：，第三天的面积为，如此类推可知：第天的池塘面积为
本题考查有理数的乘方，涉及数字规律问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，

发现规律：这些数每四个数循环一次，
，
，
故选：．
分别求出，，，，，即可发现规律，这些数每四个数循环一次．
本题考查数字的变化规律；理解题意，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
，

，
，

故选：．
由是一块半径为的半圆形纸板，在的右上端剪去一个半径为的半圆后得到图形，以此类推，得到，，
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据圆的面积公式表示出、的面积的表达式．
 

11.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：依题意得：且，
解得．
故答案是：．
只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是是常数且．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．

12.【答案】 

【解析】解：当时，
．
故答案为：．
把直接代入代数式，求得数值即可．
此题考查代数式求值，注意数字和字母的对应．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，

；
的值与的取值无关，
，解得：．
故答案为：．
化简后将含的项进行合并，然后令其系数为即可求出的值．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】   

【解析】解：设科技书买了本，文艺书买了本，
依题意得：，
解得：，
科技书买了本，文艺书买了本．
故答案为：；．
设科技书买了本，文艺书买了本，利用总价单价数量，结合购买两类新书本共付了元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：，
则原式，
故答案为：
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】； 

【解析】解：解方程得，
关于的一元一次方程是“和解方程”，
，解得；
方程的解是，
，
方程是“和解方程“，
，
解得，，
．
故答案为；．
先解方程得到，再根据新定义得到，然后解关于的方程即可；
先利用一元一次方程的解的定义得到，然后解关于、的方程组求出、的值，从而得到的值．
本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
 

17.【答案】
  

【解析】

解：按以上规律可得，第个等式：；
故答案为：；
按以上规律可得，第个等式：为正整数；
故答案为：为正整数．
【分析】
由题意可知：分子为，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成：分子是，分母是以这两个连续奇数为分母的两个分数的差的，由此得出第个等式以及第个等式．
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题．  

18.【答案】解：一班人数为：人．二班人数为：人．三班人数为：人；

四班人数为：

；

由题意可得：，则，故
二班比三班多的学生数为：

人
答：二班比三班多人． 

【解析】直接利用已知中各班之间关系表示出各班人数；
直接利用中所求，结合整式的加减运算法则进而得出答案；
直接利用四个班共有学生人，进而得出，之间的关系即可得出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确表示出各班人数是解题关键．
 

19.【答案】解：合并得：，
解得：；
移项合并得：，
解得：． 

【解析】方程合并，把系数化为，即可求出解；
方程移项合并，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：因为最小的正整数是，最大的负整数是，绝对值最小的有理数是，
数轴上到原点距离为的点表示的数是，
所以，，，．
当时，

，
所以的倒数是；
当时，

，
所以的倒数是． 

【解析】根据关于、、、的叙述，先确定、、、的具体数值，计算代数式的值，最后求出其倒数．
本题考查了有理数、绝对值、倒数的相关知识及有理数的混合运算，题目综合性较强．解决本题的关键是确定、、、的值．注意：最小的正整数是，没有最小的正数；最大的负整数是，没有最大的负数；绝对值最小的有理数是，绝对值是它本身的数是正数和；倒数是它本身的数是．
 

21.【答案】解：，，；
补全频数分布直方图如图所示：
；
人，
答：全校获得二等奖的学生人数人． 

【解析】

【分析】
本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的思想．
利用频数样本容量这组的频率即可得到结论；
根据求出的数据补全频数分布直方图即可；
利用全校名学生数考试成绩为考卷占抽取了的考卷数的比例获得二等奖学生人数占获奖学生数的比例即可得到结论．
【解答】
解：，，；
故答案为：，，；
见答案．  

22.【答案】方案三；
由图可得：调查的总人数为：名，
“了解一点”的人数为：名，
“比较了解”所占的百分比为：，
“了解一点”所占的百分比为：，
补充完整的图形：如下图

名，
七年级约有名学生比较了解“低碳”知识． 

【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
由于学生总数比较多，采用抽样调查方式，方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，所以应选方案三；
因为不了解为人，所占百分比为，所以调查人数为人，比较了解为人，则所占百分比为，那么了解一点的所占百分比是，人数为人；
用总人数乘以“比较了解”所占百分比即可求解．
解：方案一、方案二只涉及到男生和女生一个方面，过于片面，所以应选方案三；
见答案
见答案．
 

23.【答案】解：

；

；

． 

【解析】根据有理数的加减法可以解答本题；
根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题；
根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
 

24.【答案】解：

；
多项式的值与无关，
，，
，；
存在，
若点在之间，则，
不符合题意，舍去，
若点在点左侧，
设点表示的数为，则，
解得：，
若点在点右侧，则，
解得：，
存在点，其对应的数的值为或；
设秒后，，两点相遇，
根据题意可得：，
解得：，
点对应的数为；
根据题意可得，，
当时，
解得，
当时，
解得，
综上所述，的值为或． 

【解析】根据多项式的值与无关得出和的值即可；
分情况求出点表示的数即可；
设秒后，，两点相遇，根据题意列方程求解即可；
分点和点在点同侧和在点两侧两种情况分别求值即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
 

25.【答案】或 

【解析】解：由题意可知点表示的数是，点表示的数是，
设运动秒时，单位长度，
当点在点的右边时，
由题意得，
解得；
当点在点的左边时，
由题意得，
解得；
当运动时间为秒或秒时，单位长度；
由知，点在数轴上表示的数是或，
故答案为：或；
存在关系式 ；
方法一：
当时，点和点重合，点在线段上，，且 ，，
当时，，
即；
当时，点在点和点之间，，
点  在线段  上时，，，
当  时，，即；
点在线段上时，，，
当时，，即；
当时，点与点重合，，，，
当时，，即；
当时，线段在线段上，，，，
当时，，即．
综上所述，当点在点左侧时，；
当点在点右侧时，．
所以的长为或．
方法二：
设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为，
则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点  表示的数为 ，
，，，，
，
，
，
即，
当点在点右侧时，
，
，
；
当点在点左侧时，
，
，
；
的长为或．
分情况列方程求出时间即可；
根据中的时间求出点表示的数即可；
存在，根据方法一和方法二分别分情况求解即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中的等量关系列方程求解是解题的关键．