浙江省部分学校联考2023-2024学年九年级上学期开学摸底测试数学试卷(含解析)

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2023学年第一学期初三开学摸底测试

数学学科 试题卷

试   题   卷

一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ▲ )

A．B．C．D．

2．二次根式中，字母a的取值范围为( ▲ )

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是( ▲ )

A． B． C． D．

4．下列说法正确的是( ▲ )

A．为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查的方式

B．为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为1200

C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”

D．甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，则乙学生的成绩稳定

5．点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ▲ )

A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）

6．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是( ▲ )

A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6

C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6

7．如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为( ▲ )

A． B． C． D．

8．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为( ▲ )

A．1  B．﹣5  C．4  D．1或﹣5

9．若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围( ▲ )

A． B． C． D．

10．如图，在矩形内画了一些直线，已知△ADH，△BEF，四边形HGFC的面积分别是12、32、96，那么图中阴影部分的面积是( ▲ )

A．48 B．52 C．60 D．108

（第7题图）          （第8题图）          （第10题图）

二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

11．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．如图，一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是    ▲  .

12．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的百分数相同，设平均每月的增长率为，则可列方程 ▲  .

13．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 ▲ 个.

14．已知一次函数和的图像交于点，则二元一次方程组的解是 ▲ ．

15．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在轴上，AD与y轴交于点E，若，则的值为 ▲ ．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC=9，，则折痕CD所在直线的解析式为 ▲ ．

（第11题图）         （第15题图）                 （第16题图）

三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题要求写出必要的解答过程）

17．（本题6分）（1）计算：；                      （2）解方程：．

18．（本题6分）先化简，再求值，；其中a=

19．（本题6分）如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．

（1）若反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；

（2）若反比例函数的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A、B两点，如图，当△ABO的面积为12时，求直线l的解析式．

（第19题图）

20．（本题8分）在平面直角坐标系中按要求画图：

  (1)画出平移后的图形，使点的对应点坐标为．

(2)画出关于原点成中心对称的．

（第20题图）

21．（本题8分）某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分广州开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题：

（第21题图）

（1）本次问卷调查共调查了 ▲ 名观众；

（2）图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 ，“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 ▲ ；

（3）补全图①中的条形统计图；

（4）现有最喜爱“新闻节目”（记为），“体育节目”（记为），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．

22．（本题8分）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

（第22题图）

23．（本题12分）你的班级正在开展“如何设计拱桥景观灯的悬挂方案”这一数学主题研究活动，请你参加。据以下素材，探索完成任务．

24．（本题12分）综合与实践：

如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

观察猜想：

（1）在图1中，线段与的数量关系是 ▲  ；

探究证明：

（2）当，把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，判断的形状，并说明理由；

拓展延伸：

（3）当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3．

①请你判断四边形的形状，并说明理由；

②四边形面积的最大值为 ▲  ．

（第24题图）

2023学年第一学期初三开学摸底测试

数学学科 参考答案

一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．A解析：解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：A．

2．A解析：解：根据题意，得

a+2≥0，解得a≥-2．

故选：A．

3．D解析：解：A、，故此选项错误；

B、，故此选项错误；

C、，故此选项错误；

D、，正确．

故选：D．

4．D

解析：A.为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查的方式，故A错误；

B.为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为200，故B错误；

C.投掷一枚硬币100次，有50次“正面朝上”的可能性很大，但不是一定有50次，故C错误；

D.甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94．方差分别为5.3和4.8，乙的方差小于甲的方差，故D正确．

故选：D．

5．D解析：解：点在反比例函数的图象上，

，得，

，

，

A、，故选项不符合题意，

B、，故选项不符合题意，

C、，故选项不符合题意，

D、，故选项符合题意，

故选：D．

6．D解析：解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；

B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；

C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；

D、方差=×[2×（5−6）2＋3×（6−6）2＋2×（7−6）2]＝，故本选项说法错误，符合题意；

故选：D．

7．B解析：解：在矩形中，平分，

，，，

，

．

，，

，

又，

为等边三角形，

，

，

，

为等边三角形，

，

，

．

故选：B．

8．D解析：试题分析：

根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可．

解：如图：

∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，

又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，

∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，

∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，

∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，

∴xy=k2+4k+1=6，

解得，k=1或k=﹣5．

故选D．

9．B解析：函数与在上是“相邻函数”，

构造函数，在上．

根据抛物线对称轴的位置不同，来考虑：

①当，即时（图，

，解得：，

此时无解；

②当，即时（图，

，解得：，

；

③当，即时（图，

，解得：，

此时无解；

④当，即时（图，

，解得：，

此时无解．

综上可知：若函数与在上是“相邻函数”，则的取值范围为．

故选：B．

10．B解析：解：设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC

∵S△CDE=，S△ABC =

又∵四边形为矩形

∴AN=CD，EM=BC

则S△CDE=S△ABC=S，

S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影

∴S阴影= S- S△CDE- S△ABC-12-32+96

∴S阴影= S- S -S -12-32+96

S阴影=96-32-12=52．

故选：B

二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

11．解析：解：设大正方形的边长为1，则大正方形的对角线长为，大正方形的面积为1，

则阴影部分的面积=；

∴它停在阴影部分的概率是：；

12．解析：设平均每月的增长率为，由题意得

．

故答案为：．

13．8.

解析：试题解析：设白球有x个，根据题意列出方程，

，

解得x=8．

14．解析：解：根据题意可知，

二元一次方程组的解就是一次函数和的图象的交点P的坐标，

∴二元一次方程组的解是．

故答案为：．

15．10解析：解：如图，过点A作AF⊥x轴于F，

∵S△BCE=5，

∴S平行四边形ABCD=2S△BCE=10，

∵S矩形ABOF=S平行四边形ABCD，

∴S矩形ABOF=10，

∴|k|=10，

∵反比例函数图象在第一象限，

∴k=10，

故答案为：10．

16．y=x+9.解析：∵OC=9，，

∴BC=15，

∵四边形OABC是矩形，

∴AB=OC=9，OA=BC=15，∠COA=∠OAB=90°，

∴C(0，9)，

∵折叠，

∴B′C=BC=15，B′D=BD，

在Rt△COB′中，OB′==12，

∴AB′=15-12=3，

设AD=m，则B′D=BD=9-m，

Rt△AB′D中，AD2+B′A2=B′D2，

即m2+32=(9-m)2，

解得m=4，

∴D(15，4)

设CD所在直线解析式为y=kx+b，

把C、D两点坐标分别代入得：，

解得：，

∴CD所在直线解析式为y=x+9，

故答案为y=x+9.

三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题要求写出必要的解答过程）

17．解析：解：（1）原式

=；

（2）配方得：，即，

开方得：，

解得：，．

18． 解析：原式

，

当时，

原式

19.解析：解：（1）∵反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，

把y＝2代入y＝2x求得x＝1，

∴A（1，2），

把A（1，2）代入y＝（k＞0），得到3k＝2，

∴k＝；

（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，

∴y＝kx+2k，

由消去y得到x2+2x﹣3＝0，

解得x＝﹣3或1，

∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），

∵△ABO的面积为12，

∴•2•3k+•2•k＝12，

解得k＝3，

∴直线l的解析式为y＝3x+6．

20.解析：（1）结合图形可知：，

根据点的对应点坐标为，作图，

如图所示：

，即为所求；

（2）如图所示：

，即为所求．

21．（1）本次问卷调查共调查的观众数为45÷22.5%=200（人）；

（2）图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为50÷200=25%；“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为360°×=63°；

故答案为200，40%，63°；

（3）最喜爱“新闻节目”的人数为200﹣50﹣35﹣45=70（人），如图：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率==．

22．解析：（1）证明：在和中，

，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

又∵，

∴．

23.（本题一题多解）

解析：任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，

则顶点为，且经过点．

设该抛物线函数表达式为，

则，

∴，

∴该抛物线的函数表达式是．

任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，

∴悬挂点的纵坐标，

∴悬挂点的纵坐标的最小值是．

当时，，解得或，

∴悬挂点的横坐标的取值范围是．

任务三：有两种设计方案

方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．

∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，

∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，

若顶点一侧挂3盏灯笼，则，

∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．

∵挂满灯笼后成轴对称分布，

∴共可挂7盏灯笼．

∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．

方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，

∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，

若顶点一侧挂4盏灯笼，则，

∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．

∵挂满灯笼后成轴对称分布，

∴共可挂8盏灯笼．

∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．

24．解析：解：（1）线段与的数量关系是：，理由是：

点、、分别为、、的中点，

是的中位线，是的中位线，

，，

而，，

，即，

；

故答案为：；

（2）是等腰三角形，理由如下：

连接、，如图：

把绕点顺时针方向旋转，

，

在和中，

，

，

，

点、、分别为、、的中点，

是的中位线，是的中位线，

，，

，

是等腰三角形；

（3）①四边形是正方形，理由如下：

连接、，如图：

把绕点旋转，

，

在和中，

，

，

，，

点、、分别为、、的中点，为中点，

是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，

，，，，

，

四边形是菱形，

，，

，

，

，即，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是正方形；

②如图：

由①可知：四边形是正方形，，

四边形面积的最大，即是最大，

而，，

在延长线上时，最大，此时，

，

四边形面积的最大值为，

故答案为：16．