浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年上学期九年级开学考试数学试卷

这是一份浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年上学期九年级开学考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了下列函数是二次函数的是，若4m＝5n，已知△ABC∽△DEF，AB，下列图象中，函数y＝ax2﹣a，设一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年浙江省宁波市江北实验中学九年级第一学期开学数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
5．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝8，则BC的长度是（　　）

A．2 B． C． D．
6．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（　　）
A．它的开口方向向下
B．它的顶点坐标是（2，3）
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
D．当x＝0时，y有最小值是3
7．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
10．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
二．填空题（每题3分，共18分）
11．已知线段a＝2，b＝18，则a，b的比例中项为 　 　．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于　 　．

13．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③＝；④＝＝中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是：　 　（填序号）．

14．已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　．
15．如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 　 　．

16．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝　 　．

三、简答题（第17，18，19，题各6分，第20，21，22题8分，第，23题10分，共52分）
17．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
18．如图所示，△ABC的各顶点都在8×8网格的格点上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1．

（1）在图1中画出△AB1C1；
（2）在图2中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为：1．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB上一点，DE∥BC，BE⊥AB．
（1）求证：△DEB∽△BAC；
（2）若BE＝2，AC＝3，△BDE的面积为1，求△ABC的面积．

21．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：
销售单价x（元）
65
70
80
…
销售量y（件）
55
50
40
…
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．

（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标．
23．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．



参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝2x
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．
解：A、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意；
B、y＝x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x是正比例函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
解：A．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
B．因为＝，所以mn＝20，故此选项不符合题意；
C．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
D．因为＝，所以4m＝5n，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比＝1：2．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比是解答此题的关键．
4．将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝8，则BC的长度是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义，利用黄金比计算即可．
解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，
∴＝，
∵AB＝8，
∴BC＝×8＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比＝是解题关键．
6．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（　　）
A．它的开口方向向下
B．它的顶点坐标是（2，3）
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
D．当x＝0时，y有最小值是3
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：∵二次函数y＝2x2+3，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为（0，3），
∴当x＝0时，函数有最小值3，当x＞0时，y随x的增大而增大，
故选项A、B、C错误，选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数的图象及一次函数的图象的特征．
8．如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解．
解：如图所示，连接AP并延长交BC于D，
∵点P是△ABC的重心，
∴AP：PD＝2：1，
∴S△ABP＝2S△BPD，S△CAP＝2S△CPD，
∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝＝4，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键．
9．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
【分析】先令m＝0求出函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．
解：令m＝0，
则函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2．
故选D．
代数法：（x﹣1）（x﹣2）＝m，m＞0，两者乘积＞0，只能同正或同负，即x﹣1＞0且x﹣2＞0 或x﹣1＜0，x﹣2＜0，同大取大，同小取小．
解得x＜1或x＞2，即α＜1，β＞2．
故选：D．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y＝（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．
10．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共18分）
11．已知线段a＝2，b＝18，则a，b的比例中项为 　6　．
【分析】设线段 a，b 的比例中项为 c，根据比例中项的定义可知，c2＝ab，代入数据可直接求得 c 的值，注意两条线段的比例中项为正数．
解：设线段a，b的比例中项为 c，
∵c 是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴c2＝ab＝2×18，
即c2＝36，
∴c＝6（负数舍去）．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了线段的比，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么 b 叫做 a 与 c 的比例中项．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于　　．

【分析】根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．
解：∵AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，
∴，
即，
解得：CE＝，
故答案为：
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2＝∠A；②∠1＝∠CBA；③＝；④＝＝中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是：　③　（填序号）．

【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
解：①当∠2＝∠A，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故①不符合题意；
②当∠1＝∠CBA，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故②不符合题意；
③当，∠C＝∠C时，不能推出△ABC∽△BDC，故③符合题意；
④当＝＝，∠C＝∠C时，△ABC∽△BDC，故④不符合题意；
故答案为：③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
14．已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y3＜y1＜y2　．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），
∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为y3＜y1＜y2．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
15．如图所示矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 　y＝﹣x2+2x（0＜x≤3）　．

【分析】过点M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点F，由矩形的性质可得出AD＝BC＝3，∠A＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，由ME⊥AD，可得出∠DEM＝∠A＝90°，结合∠EDM＝∠ADB，可得出△DEM∽△DAB，利用相似三角形的性质可用含x的代数式表示出EM，进而可得出MF的长，再利用三角形的面积公式即可得出y关于x的函数关系式．
解：过点M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°．
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝5．
∵ME⊥AD，
∴∠DEM＝∠A＝90°．
又∵∠EDM＝∠ADB，
∴△DEM∽△DAB，
∴＝，
∴EM＝＝x，
∴MF＝AB﹣EM＝（4﹣x），
∴y＝BP•MF＝﹣x2+2x．
故答案为：y＝﹣x2+2x（0＜x≤3）．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、由实际问题抽象出二次函数关系式以及三角形的面积，利用矩形的性质及相似三角形的性质找出MF是解题的关键．
16．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝　或　．

【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时；
解：①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴AQ＝．
②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．
∵△BQP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴y＝．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．

【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、简答题（第17，18，19，题各6分，第20，21，22题8分，第，23题10分，共52分）
17．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k．
（1）代入计算即可；
（2）构建方程求出k即可．
解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1）＝＝；
（2）∵a+b+c＝60，
∴3k+4k+5k＝60，
∴k＝5，
∴a＝15，b＝20，c＝25．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．
18．如图所示，△ABC的各顶点都在8×8网格的格点上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1．

（1）在图1中画出△AB1C1；
（2）在图2中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为：1．
【分析】（1）根据旋转的性质可得图形；
（2）根据相似三角形的性质可得图形．
解：（1）如图，△AB1C1即为所求；

（2）如图，△DEF即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，相似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可确定二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）根据图象与y轴和x轴的相交的特点可求出坐标；
（3）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
解：（1）∵a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；

（2）由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3，
∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；
由图象与x轴相交则y＝0，代入得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1
∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；

（3）∵对称轴x＝1，图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x增大而增大．
【点评】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了根据对称轴了解二次函数的增减性及观察图象回答问题的能力．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB上一点，DE∥BC，BE⊥AB．
（1）求证：△DEB∽△BAC；
（2）若BE＝2，AC＝3，△BDE的面积为1，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据DE∥BC可得∠EDB＝∠CBA，即可求证△DEB≌△BAC；
（2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBA，
∵∠C＝90°，BE⊥AB，
∴∠C＝∠EBD，
∴△DEB≌△BAC；
（2）解：由（1）可得△DEB≌△BAC，
∴，
∵S△BDE＝1，
∴，
解得：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
21．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：
销售单价x（元）
65
70
80
…
销售量y（件）
55
50
40
…
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）依题意求出W与x的函数表达式．将二次函数的解析式配方后即可确定最值；
（3）由w＝500推出x2﹣60x﹣7200＝0，解出x的值即可．
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
根据题意可得：，
解得：，
∴解析式为：y＝﹣x+120，
（2）由题意知：
W＝（x﹣60）•（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200
＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即x﹣60≤60×45%，
∴60≤x≤87，
∴当x＝87时，W＝﹣（87﹣90）2+900＝891．
答：当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
（2）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，∴500＝﹣x2+180x﹣7200，
解为 x1＝70，x2＝110（不合题意舍去）．
∴销售单价应定为70元．
答：销售单价定为70元时，该商场获得的利润恰为500元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数解决实际问题是初中阶段重点题型，同学们应重点掌握．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．

（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出点Q的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S梯形COFD+S△DFB+S△AOC，即可求解；
（3）分△AQC∽△ECB、△QAC∽△ECB、△ACQ′∽△ECB三种情况，分别求解即可．
解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3得：y＝3，
∴C（0，3）．
把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，3），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，

设D（x，﹣x2+2x+3），则F（x，0），OF＝x，BF＝3﹣x，
则DF＝﹣x2+2x+3，
S＝S梯形COFD+S△DFB+S△AOC
＝×x（3﹣x2+2x+3）+（3﹣x）（﹣x2+2x+3）+1×3＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4）．
又∵C（0，3），B（3，0），
∴CE＝，BC＝3，EB＝2，
∴CE2+CB2＝BE2，
∴∠ECB＝90°．
如图2所示：连接AC．

①∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA＝1，CO＝3．
∴，
又∵∠AOC＝∠ECB＝90°，
∴△AOC∽△ECB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△ECB．
②过点C作CQ′⊥AC，交x轴于点Q′．
∵△ACQ′为直角三角形，CO⊥AQ′，
∴△ACQ′∽△AOC．
又∵△AOC∽△ECB，
∴△ACQ′∽△ECB．
∴，即，
解得：AQ′＝10．
∴Q′（9，0）．
综上所当述：Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCE相似．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
23．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．

【分析】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；
（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴＝，即＝，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．