湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题及答案

邵阳市二中2020级高三第三次月考数学试卷答案

一﹑选择题

二﹑填空题

13．（答案不唯一）      14．        15．      16．

三﹑解答题

17（1）由，得，即，∴，∵，∴.

（2）∵，且BC边上的高为，∴，∴，∴.∵，∴C为锐角，∴，∴.

18（1）解：因为，所以当时，，

两式相减得，所以，当时，满足，所以数列的通项公式为．

（2）解：选条件①．因为，所以，所以，两式相减得，

所以，所以．

选条件②．因为，

所以．

选条件③．因为，所以当时，；

当时，．

所以

19（1）设月销售量y的预测值为，由已知可得，.，

，，

关于的经验回归直线方程为：；

（2）当时，，，可以认为所得到的经验回归直线方程是理想的.

（3）设公司月利润z的预测值为，由(1)可得，所以，其中，所以当时，取最大值，最大值为，

故当月销售单价为时，月利润z的预测值的最大，最大值为.

20（1）四边形是正方形，平面，四棱锥的体积，

过点作，交于点，如图所示，平面平面，平面平面，且，平面，平面，，又平面，平面，

平面，又，，，，平面，平面，

，在中，，当且仅当时，有最大值为，有最大值为，多面体体积由最大值.

（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可知，，，，

当时，，设平面的法向量为，

，，，则，令，则，设直线与平面的夹角为，，故直线与平面所成角为.

21（1）设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，化简得 ；

（2）直线的斜率存在时，可设其方程为，联立化简得，设，则，，

所以

，化简得

则，

又到的距离，所以，为定值.当直线的斜率不存在时，可设 ，则，且，解得，此时，综上，的面积为定值.

22（1）解：因为定义域为，所以，

当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递减，在和上单调递增，当时恒成立，所以在上单调递增，

当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递减，在和上单调递增，综上可得，当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；

（2）解：当时，，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，

①当，即时，所以在上单调递增，又，所以函数只有一个零点，不符合题意，舍去；

②当，即时，又，

所以存在唯一的，使得，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，又，

当时，此时，所以，函数只有一个零点，不符合题意，舍去；

当时，，此时有两个零点时，应满足，

即，

其中

，设，，

则，令，解得，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

即恒成立，所以且.