2023-2024学年湖南省邵阳市第二中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳市第二中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再由交集运算可得.
【详解】，
又，则.
故选：B.
2．已知是方程的两根，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，再结合充要条件的判定可得答案.
【详解】若是方程的两根，则.
因为，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1B．4C．2D．
【答案】B
【分析】扇形的圆心角的弧度数为,半径为,弧长为,面积为,由面积公式和弧长公式可得到关于和的方程,进而得到答案.
【详解】由扇形的面积公式得:,
因为扇形的半径长为,面积为，则
所以扇形的弧长.
设扇形的圆心角的弧度数为,
由扇形的弧长公式得:，且
即，解得，所以扇形的圆心角的弧度数是4.
故选：B.
4．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断在上单增，再用零点存在定理判断零点所在的区间.
【详解】函数定义域为，且在上单增.
因为，，
所以零点所在区间为.
故选：B
【点睛】判断函数的零点所在区间主要方法是利用零点存在定理，判断函数在给定区间端点出的符号是否相反.
5．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的图象可得，以及的单调性，再根据复合函数的单调性判断的单调性，即可得解；
【详解】解：由函数的图象，可知，函数在上是减函数，在上是增函数，
因为对数函数是减函数，所以，且在上是增函数，在上是减函数，即只有C满足条件．
故选：C．
6．已知定义域为的奇函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质，结合奇函数求解即可.
【详解】解：因为，
所以，时，；当时，；
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，时，；时，；时，.
所以，的解集为.
故选：B
7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足（其中，为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据题中函数模型，列方程，结合对数运算求解即可.
【详解】由五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，
五分记录法的数据为时小数记录法的数据为，
则，解得.
故选：B.
8．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，则关于x的方程的实数根个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】解：设，则关于x的方程，等价，
解得或，
当时，，此时不满足方程．
若，则，即，
若，则，即，
作出当时，的图象如图：
当时，对应3个交点．
∵函数是奇函数，
∴当时，由，
可得当时，，此时函数图象对应4个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
二、多选题
9．已知角的终边经过点,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先化简点坐标,再根据三角函数的定义,求得,,进而求得的值即可判断选项.
【详解】解:由题知,
即,
因为角的终边经过点,
所以
,
.
故选:ACD
10．下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）=与是同一个函数
B．函数的值域为
C．命题： ，均有，则的否定：，使得
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】ACD
【分析】由函数定义判断A，求出函数值域判断B，根据命题的否定的定义判断C，由复合函数的定义域判断D．
【详解】选项A，的定义域是，，且，
的定义域是，，两者定义域相同，对应法则也相同，是同一函数，正确；
选项B，，即，错误；
选项C，全称命题的否定是特称命题，是，使得，正确；
选项D，函数中，，则，所以中，正确．
故选：ACD．
11．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值为B．有最大值为1
C．有最大值为D．的最小值为
【答案】AD
【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由正实数 满足，
对于A中，由，即，可得，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B中，由，
当且仅当时，等号成立，所以有最大值为，所以B不正确；
对于C中，例如，可得，所以C不正确；
对于D中，由
，
当且仅当，即时，取得最小值，所以D正确.
故选：AD.
12．定义在R上函数满足：，，，设，则（ ）
A．的图象关于直线x=2022对称
B．的图象关于点（2022，0）中心对称
C．
D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】由已知等式变形得，从而得，得周期函数，4是它的一个周期，已知条件得出函数图象关于直线对称，然后确定得对称性判断AB，计算判断C，证明判断D．
【详解】，函数为奇函数，图象关于原点对称，
又，∴，，
∴是周期函数，4是它的一个周期，函数图象关于中心对称，
由得函数的图象关于直线x=1轴对称，
，∴图象关于（2022，0）中心对称，B正确，A错误；
又，C正确；
，
则，所以是偶函数，D正确
故选：BCD．
三、填空题
13．设函数，则 .
【答案】-1
【分析】根据三角函数、对数的运算性质结合分段函数的特点即可求解.
【详解】因为，
所以
故答案为：-1.
14．已知，，则的值为 .
【答案】
【分析】平方得到，确定，，计算得到答案.
【详解】，则，即，
，故，故，
.
故答案为：.
15．已知是定义在R上的奇函数，时，则 ．
【答案】
【分析】结合对数函数性质由奇函数的定义求值．
【详解】，
，
故答案为：．
16．已知函数，正数，满足：，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知函数可得对称中心，由对称中心的性质可得的关系，用基本不等式解得最小值.
【详解】因为，
因为在定义域上单调递增且，又在上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
又与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
又
，
即，所以关于点成中心对称，
正数，满足：，所以，
则，又，所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，．
(1)时，求及；
(2)若时，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；
（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解．
【详解】（1）∵由，得
由题可知
∴或
∴
∴；
（2）∵，
∴
分两种情况考虑：
时，，解得：
时，则，解得：
所以a的取值范围为．
18．已知点为角终边上一点.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合三角函数的定义，即可求解；
（2）由（1）知，得到，代入即可求解；
（3）由（1）知，得到，代入即可求解.
【详解】（1）解：由点，根据三角函数的定义，可得.
（2）解：由（1）知，则.
（3）解：由（1）知，
则
.
19．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，由恒等式知识和函数值的定义列方程组求得，得函数解析式；
（2）不等式变形后，按两根大小分类讨论可得不等式解集．
【详解】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，，；
（2）由可知： （a>0）
，
①=2时，即a=，原不等式即为：，所以；
②<2时，即a>，原不等式解集为；
③2<时，即0，原不等式解集为．
20．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另外投入成本（万元），，每件售价为500元，该厂年内生产商品能全部销售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)年产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
【分析】（1）根据题意分段讨论即可得；
（2）分别求出两段的最大值，取其中最大即可得.
【详解】（1）当，时，
，
当，时，
，
故.
（2）当，时，，
当时，取得最大值，
当，时，
，
当，即时，取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值1000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
21．已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对数的运化简，然后换元，由二次函数的值域，即可得到结果；
（2）根据题意，由换元法，结合一元二次不等式在某区间恒成立，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
令，则函数化为，
因此当时，，取得最小值
当时，，取得最大值0
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0.
所以该函数的值域为.
（2），恒成立，
即，恒成立
令，则，恒成立
令，
则，即，解得
实数的取值范围.
22．已知函数．
(1)解关于的方程；
(2)设函数，若在上的最小值为2，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质可得，进而结合题设可得，再求解对数方程即可；
（2）化简函数，令，由对勾函数的性质可得，则，进而结合二次函数的性质讨论求解即可.
【详解】（1）∵，则，所以，
∴由方程，即，可得，
∴，∴，即.
（2）∵，
∴函数
，
令，，令，则，
因为函数在上单调递增，
且时，；时，，则，
则，，
①当时，函数在上单调递减，
所以在上的最小值为，
整理可得，解得（舍）或；
②当时，函数在上单调递增，
所以在上的最小值为，
整理可得，解答（舍）或；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意.
综上所述，的值为或．