湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题

英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷（三）

数学

得分：______

本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．记集合，，则（    ）

A．  B． C．  D．

★2．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ）

A．    B．    C．1    D．3

★3．已知向量，点，若且，为坐标原点，则的坐标为（    ）

A．   B．   C．或 D．或

4．已知平面，直线，，若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

★5．如图，边长为2的正方形中，点，分别是边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．设，则（    ）

A． B． C． D．

7．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则（    ）

A．0    B．1    C．2    D．

8．已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）．则斜率的取值范围是（    ）

A．  B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

★9．已知，，为非零实数，且，则下列结论正确的有（    ）

A．  B．   C．   D．

★10．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．  C．D．

12．已知，，，，则（    ）

A．   B．   C．  D．

选择题答题卡

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

★13．已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点对应的复数为，若，则______．

★14．已知等边三角形的边长为6，点满足，则______．

15．已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是______．

16．如图，多面体中，底面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：

①当为的中点时，平面；

②存在点，使得；

③三棱锥的体积为定值；

④三棱锥的外接球的表面积为．

其中正确的结论序号为______．（填写所有正确结论的序号）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

★17．（10分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．

（1）求等差数列的通项公式；

（2）若为递增数列，求数列的前项和．

18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且满足．

（1）求角；

（2）若边上的中线长为，求的面积．

19．（12分）2022年9月28日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．

（1）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；

（2）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．

20．（12分）如图，在几何体中，底面是以为斜边的等腰直角三角形．已知平面平面，平面平面，平面，．

（1）证明：平面；

（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值．

21．（12分）如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线，，点，为切点，是坐标原点．

（1）若点为直线与轴的交点，求的面积；

（2）若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值．

22．（12分）已知函数（且）的图象与轴交于，两点，且点在点的左侧．

（1）求点处的切线方程，并证明：时，．

（2）若关于的方程（为实数）有两个正实根，，证明：．