高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.5 函数模型及其应用学案

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.5 函数模型及其应用学案，共17页。

4．5.2　形形色色的函数模型

教材要点
要点一　几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，
b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
要点二　数学建模的步骤
(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设．
(2)建立数学模型：在上述基础上，利用恰当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构．
(3)求得数学问题的解．
(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和实用性．

状元随笔　建立函数模型解决实际问题的基本思路

基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．(　　)
(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．(　　)
(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　)
(4)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　　)


2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)
A．200副　　B．400副
C．600副 D．800副
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第15年会有______只．

题型1　二次函数模型的应用
例1　科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润px(单位：万元)与投入的月研发经费x(15≤x≤40，单位：万元)有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，px＝－110x2＋8x－90；当投入月研发经费高于36万元时，px＝0.4x＋54.对于企业而言，研发利润率y＝pxx×100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．
(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围．










方法归纳
二次函数模型解题思路
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．
跟踪训练1　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝15x，Q2＝35x.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？






















题型2　指数函数与对数函数模型
例2　(1)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点(结果取整数)开车才不构成酒后驾车？(　　)
(参考数据：lg 3≈0.477)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝〖〖(1)/(2)〗log⁡_〖3〗〗 〖(x)/(100)〗－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66)．
①当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?
②当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
③若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？




















方法归纳
指数型函数在实际问题中的应用：解析式可以表示为y＝N1+px(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．本节中，我们给出指数型函数模型y＝max＋b(a＞0，a≠1，m≠0)，有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示．
跟踪训练2　(1)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝360×1.041.012x-1 B．y＝360×1.04x
C．y＝360×1.04x1.012 D．y＝360×1.041.012x
(2)某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；
②y＝1.003x；
③y＝1＋log7x；
④y＝14 000x2.
题型3　建立拟合函数模型解决实际问题
例3　某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.
(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx ＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)．












(2)若采用函数f(x)＝15x-ax+8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．


















方法归纳
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
跟踪训练3　某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝log12x＋a.
找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式．















易错辨析　忽略题目中的限制条件致误
例4　某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4 500x升，其中k为常数，且60≤k≤100.
(1)若汽车以120千米/时的速度行驶，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围．
(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．
解析：(1)由题意得当x＝120时，15x-k+4 500x＝15120-k+4 500120＝11.5，解得k＝100.
由15x-100+4 500x≤9，即x2－145x＋4 500≤0，
解得45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以60≤x≤100，
即每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100].
(2)设该汽车行驶100千米油耗为y升，则
y＝100x·15x-k+4 500x＝20－20kx+90 000x2(60≤x≤120)，
令t＝1x，则t∈1120，160，
即有y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000t-k9 0002＋20－k2900，
对称轴为直线t＝k9 000，
由60≤k≤100，可得k9 000∈1150，190，
①若k9 000≥1120，即75≤k≤100，
则当t＝k9 000，即x＝9 000k时，ymin＝20－k2900；
②若k9 000＜1120，即60≤k＜75，则当t＝1120，即x＝120时，ymin＝1054-k6.
答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20-k2900升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为1054-k6升．
易错警示
易错原因
纠错心得
忽视自变量的取值范围，特别是运用换元法求二次函数的最值时易忽视新元范围，直接得出t＝k9 000时，ymin＝20－k2900，导致漏解．
解答函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．
课堂十分钟
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是(　　)
A．10% B．15%
C．18% D．20%
3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－1.045 8)(　　)
A．2025年 B．2021年
C．2020年 D．2018年
4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是________．
5．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝fx的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？













4．5.2　形形色色的函数模型
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0.
解得x≥800.
故选D.
答案：D
3．解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元).
故选B.
答案：B
4．解析：当x＝1时，y＝100
代入y＝alog2(x＋1)可得100＝alog22＝a
∴a＝100
∴y＝100log2(x＋1)
∴当x＝15时，100log216＝400.
答案：400
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由已知，当15≤x≤36时，
y＝-110x2+8x-90x＝－110x－90x＋8≤8－2110x×90x＝2.
当且仅当110x＝90x，即x＝30时，取等号；
当36 因为y＝0.4＋54x在(36,40]上单调递减，所以y<0.4＋5436＝1.9
因为2>1.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，
由(1)可知，此时月研发经费15≤x≤36.
于是，令y＝－110x－90x＋8≥1.9，
整理得x2－61x＋900≤0，解得25≤x≤36.
因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是x25≤x≤36.
跟踪训练1　解析：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．
所以Q1＝15x，Q2＝353-x.
所以y＝15x＋353-x (0≤x≤3)，
令t＝3-x (0≤t≤3)，则x＝3－t2.
所以y＝15 (3－t2)＋35t＝－15(t-32)2＋2120.
当t＝32时，ymax＝2120＝1.05(万元)，
即x＝34＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元).
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．
例2　解析：(1)设他至少经过t小时才可以驾车，
则0.6×100(1－10%)t＜20，
即3×<1，即t×lg ＜lg ，
所以t＞≈10，
所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选B.
(2)①由题意，x0＝2，x＝8 100，得v＝log3－lg 2＝1.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
②由题意得，当x0＝5，候鸟停下休息时，它的速度是0，可得0＝ log 3－lg 5，即log3＝2lg 5解得x＝466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．
③设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
由题意得：
两式相减可得1＝log3，
解得＝9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
答案：(1)B　(2)见解析

跟踪训练2　解析：(1)设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，一年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为，2年后，人均占有粮食产量为，…，x年后，人均占有粮食产量为，即所求解析式为y＝360×.
(2)由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1 000]时，
(ⅰ)函数为增函数；
(ⅱ)函数的最大值不超过5；
(ⅲ)y≤x·25%＝x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
答案：(1)D　(2)③
例3　解析：(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，x＝100时，y＝9，代入解得k＝，所以y＝lg x＋＋5.当x∈[50，500]时，y＝lg x＋＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg 50＋6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．
(2)对于函数模型f(x)＝＝15－，a为正整数，函数在[50，500]上递增；f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x，即x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.综上所述315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315.
跟踪训练3　解析：符合条件的是f(x)＝ax＋b，理由如下：
若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．
若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知数据相差太大，不符合．
由已知得解得所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.
[课堂十分钟]
1．解析：由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x＋1 600－0.8 x
＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*).
故选D.
答案：D
2．解析：设平均每次降价的百分率为x，则2000·(1－x)2＝1280，所以x＝20%.
故选D.
答案：D
3．解析：设2005年总值为a，经过x年翻两番．
则a·(1＋9%)x＝4a，所以x＝2lg2lg1.09＝2lg2lg109-lg100≈16.
故选B.
答案：B
4．解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，即x＝60t,(0≤t≤2.5)50,(2.5 答案：x＝60t,(0≤t≤2.5)50,(2.5 5．解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x是整数，∴3≤x≤6，x∈Z；
当x>6时，y＝[50-3(x-6)]·x－115＝－3x2＋68x－115，
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6 ∴f(x)＝50x-115, 3≤x≤6,x∈Z-3x2+68x-115, 6 (2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3(x-343)2＋8113 (6 当x＝11时，ymax＝270.
∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．