北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质课时作业

北师大版数学九年级下册第 2 章《何时获得最大利润》同步检测试

题 2（附答案）

1.如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出 一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上.问矩形 DEFG 的最大面积是 多少?

A

B E F C

2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点 D 在 BC 上运动(不运动至 B,C),DE∥AC,

交 AB 于 E,设 BD=x,△ADE 的面积为 y.

(1)求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)x 为何值时,△ADE 的面积最大?最大面积是多少?

B

D

C A

3.如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同时出 发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?

C

Q

A P B

4.如图所示,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,隧道的截面由抛

物线和长方形构成.长方形的长是 16m,宽是 6m.抛物线可以用 y=- 1

32

x2+8 表示.

(1)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为 4m,车载大型设备的顶部与路面的距离均 为 7m,它能否安全通过这个隧道?说明理由.

(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆运货汽车能否安全通过? (3)为安全起见,你认为隧道应限高多 少比较适宜?为什么?

x

5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速 度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P,Q 两点同时出 发,分别到达 B,C 两点后就停止移动.

(1)设运动开始后第 t 秒钟后,五边形 APQCD 的面积为 Scm2,写出 S 与 t 的函数关系 式,并指 出自变量 t 的取值范围.

(2)t 为何值时,S 最小?最小值是多少? D C

Q

A P B

6.△ABC 是锐角三角形,BC=6,面积为 12,点 P 在 AB 上,点 Q 在 AC 上,如图所示, 正方形

PQRS(RS 与 A 在 PQ 的异侧)的边长为 x,正方形 PQRS 与△ABC 公共部分的面积为 y.

(1)当 RS 落在 BC 上时,求 x;

(2)当 RS 不落在 BC 上时,求 y 与 x 的函数关系式; (3)求公共部分面积的最大值.

A

B C

S R

7.如图,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用 y= 1

25

x2 表示.在正常水位时水面 AB  的宽为 20m,

如果水位上升 3m 时,水面 CD 的宽是 10m. (1)在正常水位时,有一艘宽 8m、高 2.5m 的小船,它能通过这座桥吗?

(2)现 有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥 280km(桥长忽略不计).货车正以每小时 40km 的速度开往乙地,当行驶 1 小时时, 忽然接到 紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水 位 在 CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止 车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶, 能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能, 要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时 多少千米?

x

答案:

1.过 A 作 AM⊥BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM= =16cm.

设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由△ADG∽△ABC,故

AN  DG ,即 16 x DG ,故 DG= 3 (16-

AM BC

x).

16 24 2

∴y=DG·DE= 3 (16-x)x=-  3 (x2-16x)=- 3 (x-8)2+96,

2 2 2

从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2.

2.(1)在 Rt△ABC 中,AC=

 =6,∴tanB= 6 3 .

8 4

∵DE∥AC,∴∠BDE=∠BCA=90°.∴DE=BD·tanB= 3 x,CD=BC-BD=8-x.

4

设△ADE 中 DE 边上的高为 h,则∵D E∥AC,∴h=CD.∴y= 1 DE·CD= 1 3 x ×(8-x) ,

即 y=

2 2 4

3 x2 +3 x.自变量 x 的取值范围是 0<x<8.

8

4 3 0 32

3 8 

(2)x= 

2 3 

=4 时,y 最大=          =6.即当 x=4 时,△ADE 的面积最大,为 6.

4 3 

8  8 

   

3.设第 t 秒时,△PBQ 的面积为 ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;

又 BQ=2t.∴y= 1 PB·BQ= 1 (6-t)·2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,

2 2

当 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2.

4.( 1)可以通过,根据对称性,当 x= 1 ×4=2 时,y= 1  ×4+8= 7 7 >7.

2

故汽车可以安全通过此隧道.

(2)可以安全通过,因为当 x=4 时, y= 1

32

32 8

×16+8= 7 1 >7.故汽车可以安全通过此隧道.

2

(3)答案不惟一,如可限高 7m.

1

5.(1)第 t 秒钟时,AP=t,故 PB=(6-t)cm;BQ=2tcm.故 S△PBQ= ·(6-t)·2t=-t2+ 6t.

2

∵S 矩形 ABCD=6×12=72.∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0<t<6).

(2)S=(t-3)2+63.故当 t=3 时,S 有最小值 63.

6.(1)过 A 作 AD⊥BC 于 D 交 PQ 于 E,则 AD=4.由△APQ∽△ABC,得 4 x x ,故 x= 12 .

(2)当 RS 落在△ABC 外部时,不难求得 AE=

2 x ,

3

4 6 5

故 y x 4 2 x 2 x2 4x 12 x 6 .当 RS 落在△ABC 内部时,y=x2(0<x< 12 ).

 3    3 5  5

   

(3)当 RS 落在△ABC 外部时,

y 2 x2 4x 2 (x 3)2  612 x 6 .

3 3 5 

 

∴当 x=3 时,y 有最大值 6.当 RS 落在 BC 边上时 ,由 x= 12 可知,y=

5

144

.

25

当 RS 落在△ABC 内部时,y=x2(0<x< 12 ),故比较以上三种情况可知:公共部分面积最大为 6.

5

7.(1)由对称性,当 x=4 时,y= 1 42  16 .当 x=10 时,y= 1 102  4 .

25 25

故正常水位时,AB 距桥面 4 米,由 4 16 3 9

25 25

25

2.5 ,故小船能通过.

(2)水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 1÷0.25=4 小时.

货车按原来的速度行驶的路程为 40×1+40×4=200<280.

∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥.

设货车速度提高到 x 千米/时,当 4x+40×1=280 时,x=60.

∴要使货车安全通过此桥,货车的速度超过 60 千米/时.