2021-2022学年四川省雅安市高二下学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省雅安市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交集运算可得答案.

【详解】因为，，所以，

故选：B

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定方法否定给定命题即可得解.

【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

它的否定为：.

故选：C.

3．已知i为虚数单位，复数，则（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先求复数z，再求.

【详解】复数，所以.

故选：B

4．下列说法错误的是（       ）

A．线性回归直线一定过样本点中心

B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强

【答案】D

【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.

【详解】回归直线必过样本点中心，故A正确；

拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；

残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；

相关系数越接近于1，相关性越强，故当时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.

故选：D

5．已知条件p：函数的定义域，条件q：的解集，则p是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由题意条件p： ，条件q：，

当时，一定有.

但时，不一定有，比如.

所以是的充分不必要条件.

故选：A

6．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（       ）

A． B．1 C．3 D．

【答案】C

【分析】设切点，求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得，即为点的横坐标.

【详解】设切点，的导数为，

可得切线的斜率为，

由切线与直线垂直，

可得，解得或（舍），

所以P的横坐标为，

故选：C

7．函数的零点个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】函数的零点个数，即为的方程根，也就是函数和的图象交点个数，分别画出函数图象可得答案．

【详解】函数的零点个数，即为的方程根，化简可得，分别画出函数和的图象，如图所示：

由图可知，函数和有两个交点，所以函数有两个零点，

故选：B

8．已知命题，；，那么下列命题正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断的真假，再由复合命题真假的判断方法求解即可

【详解】因为

，

所以为真命题，为假命题；

因为时，，

所以为假命题，为真命题；

所以为假命题，为假命题，为假命题，真命题，

故选：D

9．已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（       ）

A．1 B．2 C． D．0

【答案】A

【分析】由偶函数可得，由可得对称性，再化简整理可得周期，进而根据性质转换到，再代入解析式求解即可.

【详解】由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，，故

故选：A

10．若函数，给出下面结论：①时有极大值，②在单调递减，③．其中正确的结论个数（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】研究函数的奇偶性、单调性，通过函数图像解决问题.

【详解】，

的定义域为：，且

所以是奇函数，

当x>0时，，由有： ；由有： ；

所以的大致图象为：

故①③正确，②错误.故A，B，D错误.

故选：C.

11．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（       ）

A．7 B．5 C． D．3

【答案】D

【分析】分别求出两个函数在对应区间上的最大值，然后可得答案.

【详解】因为，所以，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

因为，，，，

所以当时，，

因为，所以在区间上单调递减，

所以当时，，

因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，

所以实数的最大值为3，

故选：D

12．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可

【详解】由在上恒成立，得

在上恒成立，

当时，上式显然成立，

当时，令，，

则，

当时，，所以在上递增，

而当时，，不合题意，

当时，由，得，

令，，作出两函数的图象，如图所示

由图象可知，存在，使，所以，得，

当时，，当时， ，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值，

所以

，

由，得，得，

综上，，

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题

二、填空题

13．设函数，则______．

【答案】0

【分析】先计算出的值，即可计算出的值.

【详解】，.

故答案为：0.

14．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】利用函数的导数求出切线斜率，由点斜式直线方程求解即可．

【详解】，，

又，则切线方程为，即，

故答案为：

15．下列四个命题：

①复数在复平面中对应的点在第二象限

②已知幂函数为偶函数，则

③若函数定义域为，则

④，恒成立

其中真命题的序号是______．（把真命题的序号都填上）

【答案】②③④

【分析】对于①：化简复数.即可得判断正误..

对于②：根据幂函数的定义可求出或，再由偶函数即可求出.

对于③：函数定义域为等价于恒成立，即.

对于④：记，可证在上单调递增.即可得出答案.

【详解】对于①：复数，在复平面中对应的点为在第一象限.错误.

对于②：因为函数为幂函数，则或.当时：不为偶函数.当时：为偶函数，此时.正确.

对于③：函数定义域为,则恒成立，即.正确.

对于④：记，，因为

所以恒成立，所以在上单调递增，

所以当时：，即恒成立.正确.

故答案为：②③④.

16．设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】设，可得，

因为当时，，可得，

所以在为单调递减函数，

又因为函数为奇函数，且，可得，

则满足，所以函数也为奇函数，

所以在为单调递减函数，且，

当时，由，即，即，可得；

当时，由，即，即，可得；

所以不等式的解集为.

故答案为：.

三、解答题

17．随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红，有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对高二年级的学生进行网络搜题的情况进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，已知经常使用网络搜题的女生占整个女生的，而男生中偶尔或不用网络搜题占整个男生的．

(1)补全下列2×2列联表

(2)试运用独立性检验的思想方法分析，并判断是否在犯错误的概率不超过5%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？并说明理由．

附：．

【答案】(1)列联表见解析

(2)能在犯错误的概率不超过5%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关，理由见解析

【分析】（1）由题意分别求得女生中经常使用网络搜题软件人数、偶尔或不用网络搜题软件人数、男生中偶尔或不用网络搜题软件人数和经常适用搜题软件人数，即可完成列联表.

（2）由（1）可得的值，分析即可得答案.

【详解】(1)（1）由题意得：女生中经常使用网络搜题软件人数为，则偶尔或不用网络搜题软件人数为50-10=40；

男生中偶尔或不用网络搜题软件人数为，则经常使用搜题软件人数为50-30=20，

完成2×2列联表

(2)由（1）可得，

∴能在犯错误的概率不超过5%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关．

18．已知是函数的极值点

(1)求m的值；

(2)证明：当时，恒成立．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据极值点的定义，，解方程即可求的值；

（2）要证在时恒成立，即证恒成立，令，，利用导数求函数的最小值，证明即可.

【详解】(1)，，

∵是的极值点，

∴，解得，

经检验，满足题意，；

(2)要证在时恒成立，即证恒成立，

令，，则，

∵，∴，，在单调递增，

，∴恒成立，

当时，.

19．某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表所示：

作出这组数的散点图如下

(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保留整数）．

附：，       参考数据：

【答案】(1)更适宜

(2)；预测第196天幼苗的高度大约为29cm

【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；

（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.

【详解】(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；

(2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：

容易计算，，．通过上表计算可得：

因此

∵回归直线过点，∴，

故y关于的回归直线方程为

从而可得：y关于x的回归方程为

令，则，所以预测第196天幼苗的高度大约为29cm．

20．已知函数，

(1)当时，求函数在的值域

(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；

（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：∵，，

令，∵，∴，

∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，

∴的值域是.

(2)解：方程有解，

即有解，

即有解，

∴有解，

令，则，

∴.

21．已知命题在区间上恒成立；

命题q：函数，若对任意，恒成立；

(1)如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)命题“”为真命题，“”为假命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用分离参数法得到在区间上恒成立，即可求得；（2）由命题“”为真命题，“”为假命题，可知p，q一真一假，分类讨论：若p真q假，列不等式组求出；若p假q真，列不等式组求出，即可得到实数a的取值范围.

【详解】(1)若在区间上恒成立，则在区间上恒成立，

因此，只需；即命题

(2)由命题“”为真命题，“”为假命题，可知p，q一真一假，

当q为真命题时，，恒成立，

，∴在R上恒成立

∴在R上单调递增，∴在R上恒成立

∴恒成立，∴，∴，，

若p真q假，则∴；

若p假q真，则∴

综上：

22．已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，是否存在实数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)存在；最小值为3

【分析】（1）求导，然后分与讨论即可求解

（2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解

【详解】(1)∵，

当，，

∴在单调递增

当时，，

令，得，得

∴在单调递增，在单调递减

综上：时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减；

(2)∵，

∴，

∴，

∴

令，

∴

令，

∴在单调递减，

∵

∵

∴，使得，即，

当，，，单调递增，

当，，，单调递减，

∴，

∵，，

∴，

∴m的最小值为3