2021-2022学年四川省仁寿县文宫中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省仁寿县文宫中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的

A．频率就是概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．概率是随机的，在试验前不能确定

D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

【答案】D

【详解】解：因为随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

频率在试验前是不定的，概率是确定的．频率是概率的近似值，

选：D

2．复数的虚部是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算可得答案.

【详解】复数，虚部为.

故选：B.

3．若，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】A、B利用不等式的基本性质即可判断出；C利用指数函数的单调性即可判断出；D利用基本不等式的性质即可判断出.

【详解】A， ∵,∴−a >−b >0,∴，错误；

B，∵,∴，错误；

C， ，错误；

D，，

又因为，，所以，正确，

故选：D.

4．已知函数的导函数为，且满足（为自然对数的底数），则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得：，令可得的值.

【详解】由题意可得：，

令可得：.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．执行下列程序后输出的结果是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【详解】解：当n=5，S=0时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=5，n=4；

当n=4，S=5时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=9，n=3；

当n=3，S=9时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=12，n=2；

当n=2，S=12时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=14，n=1；

当n=1，S=14时，不满足进入循环的条件，退出循环体后，输 出 n=1.

故选：C.

6．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（    ）．

A．45 B．52 C．47 D．54

【答案】B

【分析】根据茎叶图的数据以及中位数的定义，求出两组数据的中位数，求和即可.

【详解】由茎叶图可知，甲得分数据为12,15,23,24,31,44,49，中位数为24；

乙得分数据为13,22,23,28,35,44,47，中位数为28.

乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为52.

故选:B

7．如图是函数及在点处的切线的图象，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据切线与坐标轴的交点，可用待定系数法求出切线方程，进而可得的值，再利用导数的几何意义可得，最后求的值.

【详解】由图知，切线过点，.

设切线方程为，

由，解得.

所以切线方程为，

当时，，即.

由切线斜率为得，.

所以.

故选：D.

8．如图，在矩形中，点为边上的一个动点．若在矩形内部随机取一个点，则点取自阴影部分的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用几何概型的面积型，求阴影部分的面积、矩形的面积，根据它们的面积比即可求矩形内部随机取一个点，取自阴影部分的概率.

【详解】由题意，阴影部分的面积，而矩形的面积，

∴在矩形内部随机取一个点，取自阴影部分的概率为.

故选：C

9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用不等式的性质得到，解之即可.

【详解】由题意知左边的最小值小于或等于3，

根据不等式的性质得，，.

故选：C.

10．已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：将记为横坐标，将记为纵坐标，可知总共有9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，，满足题中条件为，即，所以满足条件的基本事件有共6个基本事件，所以所求的概率为，故选D．

【解析】古典概型．

11．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设,设点处的切线为,点处的切线为, 得,即得解.

【详解】

设,

所以，

设点处的切线为,点处的切线为, 得,

所以.

故选：B

12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】转化为在上恒成立，令，即，求的最大值可得答案.

【详解】由在上恒成立得在上恒成立，

令，即，

，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

则实数的取值范围为.

故选：A.

二、填空题

13．某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为______．

【答案】9

【分析】直接利用分层抽样求样本的容量.

【详解】由题得样本的容量为.

故答案为：9

14．已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.

【答案】

【详解】z＝，|z|＝||＝＝＝.

15．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则______．

【答案】10

【分析】由表格数据求样本中心，根据回归方程过样本中心，即可求.

【详解】由题意，得，，

由样本中心在回归方程上，

∴，得.

故答案为：

16．已知函数在区间有最小值，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】先对函数求导，得到在区间上单调递增，再根据函数在区间有最小值，得，解不等式即可.

【详解】由题知，，，

因为在区间上单调递增，

若函数在区间有最小值，

则，即，

解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数在处取得极值．

（1）求，的值；

（2）求函数的单调区间．

【答案】（1），；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意得，结合、即可求，的值；

（2）由（1）知，根据、确定的单调区间即可.

【详解】（1）由题知，，则，

即．

∴．

∵，即．

∴.

此时，令得，

当或时，，当时，，

所以当时，取得极小值；

（2）由（1）知，，则．

令，可得，．

∴在，上，则单调递减，

在上，则单调递增．

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，.

18．某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过立方米的部分按元/立方米收费，超出立方米的部分按元/立方米收费，从该市随机调查了名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图.

(1)如果为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为元/立方米，至少定为多少？

(2)假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代，当时，估计该市居民该月的人均水费为多少？

【答案】(1)至少定为3

(2)（元）.

【分析】（1）根据为整数，计算用水量不超过3立方米和不超过2立方米的频率可得结果；

（2）根据用水量的频率分布直方图及题意，求出居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代可求出该月的人均水费.

【详解】（1）由用水量的频率直方图可知：

该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次是，

该月用水量不超过3立方米的居民占：，

而用水量不超过2立方米的居民占：，

是正数，为使以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为3.

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：

（元）.

答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）.

19．已知抛物线在处的切线的斜率是.

(1)求该抛物线方程：

(2)求过点的该抛物线的切线方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；

（2）因为点不在抛物线上，设切点坐标为，然后利用导数的几何意义即可求解.

【详解】（1），，

抛物线在处的切线是，.，

故该抛物线方程为.

（2）设切点坐标为，，切线的斜率为，

切线方程为.

又点在切线上，.

解得或.

过点的该抛物线切线方程为或，

即或.

20．“支付宝捐步”已经成为当下很热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如表所示：

(1)根据上表数据，能否有的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？

(2)岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前天，捐步的步数与天数呈线性相关.

根据上表数据，建立关于的线性回归方程；

附参考公式与数据：，；

，其中.

【答案】(1)有的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关

(2)

【分析】（1）根据题目给出的年龄是否超过50岁和是否使用支付宝的2×2列联表，计算的观测值，查表判断即可；

（2）分别计算，，，，代入公式可以求得，，即可得到回归方程；

【详解】（1）依题意，得

由表中数据得的观测值

因为，所以有的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关.

（2）由题意得：，

，

，

，

，

故.

所以关于的线性回归方程为.

21．已知函数，是的导函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若有两个极值点、，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）求得，然后分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可解原不等式；

（2）分析可知方程有两个不等的实根，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用已知条件可出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由题意，知，所以.

当时，不等式无解；

当时，不等式的解集为为；

当时，不等式的解集为为；

（2）设.

则、是方程的两个实数根，且.

当时，在上恒成立，所以在上单调递减，

所以方程不可能有两个实数根；

当时，由，得，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减.

所以当时，方程才能有两个实数根，

所以，得，得，

故实数的取值范围是.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，点的坐标为，证明：直线关于轴对称．

【答案】（1）；；（2）证明见解析．

【分析】（1）利用同角的三角函数关系式把曲线的参数方程化成普通方程，利用直角坐标方程与极坐标方程互化公式，结合两角和的余弦公式把直线的极坐标方程，化成直角坐标方程；

（2）通过解方程组求出两点坐标，根据直线斜率公式进行证明即可.

【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）可得

曲线的普通方程为．

直线的极坐标方程可变形为：

，

于是，其直角坐标方程为．

（2）由方程组消元，有．

由此可知，点的坐标分别为

直线的斜率分别为

所以，

于是，直线关于轴对称．

23．已知函数．

（1）解不等式；

（2）令的最小值为正数满足，求证：

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据绝对值的性质进行分类讨论求解即可；

（2）根据绝对值的性质进行分类讨论求出的最小值，最后利用均值不等式进行证明即可.

【详解】（1）当时，，得；

当时，，此时无解﹔

当时，，得，

所以，不等式的解集为．

（2）由（1），当时，；

当时，；

当时，，

则时，的最小值为，即．

于是满足，

当且仅当且且即时取“”.

【点睛】关键点睛：由已知得到这个变形是解题的关键.