2021-2022学年四川省雅安市高二下学期期末数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省雅安市高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．复数的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据虚部的定义可直接得到结果.

【详解】由复数的虚部的定义可知：的虚部为.

故选：.

【点睛】本题考查复数虚部的求解，关键是明确中，为实部，为虚部，属于基础题.

2．下列说法错误的是（       ）

A．线性回归直线一定过样本点中心

B．在回归分析中，为0.91的模型比为0.88的模型拟合的效果好

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强

【答案】D

【分析】根据回归方程相关知识逐项判断即可.

【详解】回归直线必过样本点中心，故A正确；

拟合系数越大拟合效果越好，故B正确；

残差点分布区域越窄，拟合精度越高，故C正确；

相关系数越接近于1，相关性越强，故当时，r的值越大，变量间的相关性越弱，故D错误.

故选：D

3．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据空间向量平行的坐标运算计算得解.

【详解】因为，所以，所以，，所以，解得，.

故选：C.

4．已知条件p：函数的定义域，条件q：的解集，则p是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由题意条件p： ，条件q：，

当时，一定有.

但时，不一定有，比如.

所以是的充分不必要条件.

故选：A

5．设X为随机变量，且，若随机变量X的方差，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项分布的方差公式可求得，再根据二项分布的概率求解即可

【详解】因为，故，故

故选：B

6．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（       ）

A． B．1 C．3 D．

【答案】C

【分析】设切点，求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得，即为点的横坐标.

【详解】设切点，的导数为，

可得切线的斜率为，

由切线与直线垂直，

可得，解得或（舍），

所以P的横坐标为，

故选：C

7．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分配到A、B两个社区参加防疫工作，每个社区至少去一名，则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为（       ）

A．14 B．10 C．8 D．6

【答案】C

【分析】分两种情况讨论，采用先分组后安排的办法即可求解

【详解】分两种情况：

第一种情况：将甲、乙、丙、丁4名志愿者分成人数为的两组，

则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为：种；

第二种情况：将甲、乙、丙、丁4名志愿者分成人数为的两组，

则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为：种；

所以甲、乙不在同一社区的分配方法种数为种，

故选：C

8．已知命题，；，那么下列命题正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断的真假，再由复合命题真假的判断方法求解即可

【详解】因为

，

所以为真命题，为假命题；

因为时，，

所以为假命题，为真命题；

所以为假命题，为假命题，为假命题，真命题，

故选：D

9．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（       ）

A．15 B．45 C．135 D．405

【答案】C

【分析】令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得；

【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为，

所以，解得，

所以展开式的通项为，

令，解得，所以；

故选：C

10．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出

【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，

所以，

因为D是PG上的一点，且，

所以，

因为，

所以

,

因为，

所以，

所以为，

故选：B

11．若函数，给出下面结论：①为奇函数，②时有极大值，③在单调递减，④．其中正确的结论个数（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】由奇函数的定义即可判断①；求导得出时的单调性，进而得出极值即可判断②；直接由导数得出在上的单调性即可判断③；利用单调性比较函数值大小即可判断④.

【详解】易得定义域为，对于①，，则为奇函数，①正确；

对于②，当时，，，当时，，单增，

当时，，单减，则时，有极大值，②正确；

对于③，当时，，，单增，③错误；

对于④，由上知，在单调递增，则，又，则，④正确.

则正确的结论有3个.

故选：D.

12．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可

【详解】由在上恒成立，得

在上恒成立，

当时，上式显然成立，

当时，令，，

则，

当时，，所以在上递增，

而当时，，不合题意，

当时，由，得，

令，，作出两函数的图象，如图所示

由图象可知，存在，使，所以，得，

当时，，当时， ，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值，

所以

，

由，得，得，

综上，，

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题

二、填空题

13．命题“，”的否定是______．

【答案】，

【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案.

【详解】命题“”的否定是“”.

故答案为：

14．已知i为虚数单位，复数，若，则______．

【答案】

【分析】利用复数的除法化简复数，再利用复数的模长公式即可求得的值.

【详解】因为，

即，且

所以，解得

故答案为:.

15．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】

【分析】设分别为和的中点，把异面直线与所成角转化为直线与所成的角，根据中位线定理，结合余弦定理求得和的余弦值，即可求解.

【详解】如图所示，设分别为和的中点，

可得，，且，

所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，

作的中点为，则为直角三角形，

因为，

在中，

由余弦定理可得，

所以，所以，

在中，，

在中，

可得，

又因为异面直线所成角的范围是，

所以与所成的角的余弦值为.

故答案为：.

16．设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】设，可得，

因为当时，，可得，

所以在为单调递减函数，

又因为函数为奇函数，且，可得，

则满足，所以函数也为奇函数，

所以在为单调递减函数，且，

当时，由，即，即，可得；

当时，由，即，即，可得；

所以不等式的解集为.

故答案为：.

三、解答题

17．随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红，有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对高二年级的学生进行网络搜题的情况进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到下面2×2列联表．

(1)试运用独立性检验的思想方法分析，并判断是否在犯错误的概率不超过5%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？并说明理由．

(2)现采用分层抽样的方法，从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取3人进行座谈，记男生人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：．

【答案】(1)能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；

(2)分布列见解析，的数学期望为：.

【分析】(1)由列联表计算观测值，对照临界值得出结论.

(2)由题意得：男生3人，女生4人，所以X的可能取值为0，1，2，3，分别计算出它们的概率，由此求出X的分布列和数学期望.

【详解】(1)因为

所以，能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关．

(2)从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为7的样本，

故男生3人，女生4人，所以X的可能取值为0，1，2，3

，，

，，

所以X的分布列为：

故的数学期望为.

18．已知是函数的极值点

(1)求m的值；

(2)证明：当时，恒成立．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据极值点的定义，，解方程即可求的值；

（2）要证在时恒成立，即证恒成立，令，，利用导数求函数的最小值，证明即可.

【详解】(1)，，

∵是的极值点，

∴，解得，

经检验，满足题意，；

(2)要证在时恒成立，即证恒成立，

令，，则，

∵，∴，，在单调递增，

，∴恒成立，

当时，.

19．某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表所示：

作出这组数的散点图如下

(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第196天这株幼苗的高度（结果保留整数）．

附：，       参考数据：

【答案】(1)更适宜

(2)；预测第196天幼苗的高度大约为29cm

【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；

（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.

【详解】(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；

(2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：

容易计算，，．通过上表计算可得：

因此

∵回归直线过点，∴，

故y关于的回归直线方程为

从而可得：y关于x的回归方程为

令，则，所以预测第196天幼苗的高度大约为29cm．

20．如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．

(1)证明：平面平面EBCD；

(2)已知点P在棱上，且，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据勾股定理证明，再根据线面垂直的判定证明面EBCD，进而得到平面平面EBCD；

（2）以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可

【详解】(1)证明：在等腰梯形ABCD中，，∴，∴

，，，∴，，

在中，知，∵，∵，∴

，EC，面EBCD，，∴面EBCD

∵面，∴面面EBCD

(2)由（1）知面EBCD，

∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

∴，，，

设∵，∴，∴，∴

设是面CEP的法向量，

∴，∴，令，

∴，，

设是面DEP的法向量，

∴，∴，∴

令，∴，，

由图知，二面角的余弦值为锐二面角，余弦值

21．已知命题在R上恒成立；命题q：函数，若对任意，恒成立；

(1)如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)命题“”为真命题，“”为假命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将问题转化为在R上恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求出实数a的取值范围，

（2）由对任意，恒成立，可得在R上恒成立，从而得在R上单调递增，然后求导后，导数大于等于零恒成立，求出的范围，再由题意可得p，q一真一假，然后分两种情况求解即可

【详解】(1)若在R上恒成立，则在R上恒成立，

因此，令，，

令，，令，；

在单调递减，在单调递增，

所以

，，即命题p为真命题时，

所以实数a的取值范围

(2)由命题“”为真命题，“”为假命题，可知p，q一真一假，

当q为真命题时，，恒成立，

，

∴在R上恒成立

∴在R上单调递增，

∴在R上恒成立

∴恒成立，

∴，∴，，得

若p真q假，则，∴；

若p假q真，则，∴

综上，

22．已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，是否存在实数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)存在；最小值为3

【分析】（1）求导，然后分与讨论即可求解

（2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解

【详解】(1)∵，

当，，

∴在单调递增

当时，，

令，得，得

∴在单调递增，在单调递减

综上：时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减；

(2)∵，

∴，

∴，

∴

令，

∴

令，

∴在单调递减，

∵

∵

∴，使得，即，

当，，，单调递增，

当，，，单调递减，

∴，

∵，，

∴，

∴m的最小值为3