2021-2022学年内蒙古赤峰二中高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案

赤峰二中2020级高二上学期第一次月考

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分

一、选择题:（ 本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.）

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知命题，命题，则下列命题为真命题的是（    ）

A．            B．        C．            D．

3．已知点，椭圆与直线交于点，，则的周长为（    ）

A．     B．8       C．4                D． 

4．已知直线的方程是，直线的方程是，则下列各图中，正确的是（    ）．

A．   B． C． D．

5．设，则“”是“直线和直线平行”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（    ）

A．         B．            C．          D．

7．已知，若存在一点满足，且，则点的坐标为（    ）

A．         B．           C．         D．

8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．        C．       D．

9．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（    ）

A．       B．         C．        D．

10．设直线与圆交于、两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线的距离的最小值为（    ）

A．          B．             C．           D．

11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

12．如图所示，椭圆的离心率，左焦点为，，，分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线与交于点，则的值为（    ）

A．     B．         C．       D．

第Ⅱ卷（非选择题,共 90 分）

二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）

13.点是椭圆的一个焦点，则实数m的值为________．

14．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是________.

15．若命题“：，使”为真命题，实数的取值范围为______．

16．已知数列，2，3，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则数列的所有项的和为___．

三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17（本小题满分10分）．

已知“直线与圆相交”；“有一正根和一负根”．

（1）若为真，求的范围；

（2）若为真，为真，求的取值范围．．

18（本小题满分12分）．

在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.

（1）求点和点的坐标；

（2）求边上的高所在的直线的方程.

19（本小题满分12分）．

已知圆与圆关于直线对称，

（1）求、的值；

（2）若这时两圆的交点为、（O为坐标原点），求的度数．

20（本小题满分12分）.

已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y＝3x对称，与x轴相切，被直线y＝x截得的弦长为．

（1）求圆C的方程；

（2）若点P在直线x+y+1＝0上运动，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B点，①求四边形PACB面积的最小值．②直线AB是否过定点？若AB过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明。

21（本小题满分12分）.

在平面直角坐标系中，已知动点P与两个定点E（1，0），F（﹣2，0）的

距离之比为，记动点P的运动轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）设过点E（1，0）的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是

否存在定点M，使得x轴平分∠AMB？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

22（本小题满分12分）．

已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.

参考答案

CCBBC ADAAC CB

13. 答案：3

14. 答案：

15. 答案：或．

16. 答案：4032．

17. 解：（1）根据题意，对于，直线与圆相交，

则，即，解可得；

故的取值范围为．

（2）对于，有一正根和一负根，

∴设，必有，

解可得，

若为真，为真，则假真，

则有或，

故有．

18. 解：（1）由于在直线和直线上，所以.

直线的斜率为，由于的平分线为轴，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.设.

由于直线的斜率为，所以直线的斜率为，

所以，解得.所以.

（2）由（1）可知，所以，所以直线即为边上的高.

由于直线的斜率为，且过，所以方程为.

19. 解：（1）圆即，

表示以为圆心，以 为半径的圆．

圆的圆心为，半径等于，

故的中点为，的斜率为，

故的中垂线的斜率等于2，

故的中垂线的方程为，即．

所以直线即为的中垂线，故与的值分别等于2和5，

（2）由上可知，直线即，

即，且此直线是公共弦所在的直线．

弦心距为，故，

故．

20. 【解答】解：（1）设圆C的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，（a＞0，b＞0），圆心C为（a，b），

由圆C关于直线y＝3x对称，有b＝3a，①

圆C与x轴相切，有r＝b＝3a，②

点C到y＝x的距离为d＝，

又圆C被直线截得的弦长为，则，

结合②，有9a2＝2a2+7，∴a2＝1，

又a＞0，∴a＝1，则r＝b＝3a＝3，

∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9；

（2）由PA，PB与圆相切，∴CA⊥PA，CB⊥PB，|CA|＝|CB|＝3，

由△PAC≌△PAB，得S四边形PACB＝2S△CAP＝2×|CA|•|PA|＝3|PA|，

又|PA|＝，

且|PC|的最小值为C到直线x+y+1＝0的距离，

等于（当PC⊥l时取等号），

∴＝．

∴四边形PACB面积的最小值为．

AB过定点为

21. 【解答】解：（1）设P（x，y），则，

化简得（x﹣2）2+y2＝4，

∴曲线C的方程为（x﹣2）2+y2＝4；

（2）在x轴上存在定点M（﹣2，0），使得x轴平分∠AMB．

证明如下：当直线AB⊥x轴时，显然x轴平分∠AMB；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），M（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（k2+1）x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

△＝12k2+16＞0，，，

若x轴平分∠AMB，则kAM＝﹣kBM，

即，，

整理得2x1x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m＝0，

得，∴﹣4﹣2m＝0，即m＝﹣2，

∴当M（﹣2，0）时，∠AME＝∠BME总成立，即x轴平分∠AMB．

22. 解：（1）由题意得，

解得，

∴

所以椭圆C的方程为.

（2）由得，.

设，，则，，

∴，

又点到直线的距离为.

所以的面积为，

当且仅当即时，的面积有最大值为1，

此时直线的方程为.